鼓芊竦玫叫碌睦斫猓壳f子的齊物論對理解這一問題有啥幫助？

題主的問題描述顯得有點業餘了，不過芝諾悖論這個話題，其實可以討論的地方挺多的，是個好問題。芝諾悖論是人類最早的對「無限」的思考，即使在今天，數學上面對「無限」，我們也必須小心謹慎。我們可以從好幾個層次來認識「無限」這個怪物。

一：無限與有限

最直接的一層，基本上學好了數學上的極限的概念就能理解，這裡其實並不存在任何「悖論」。對芝諾所花費的時間和所跑過的距離加以計算，寫下來就是類似

這樣的一個極限。雖然有「無限」項，但這個數列的和是收斂的，最終的極限是一個「有限」值。

為什麼「無限」項的和卻是一個「有限」值？那下面這個「無限」項的和，為什麼是「無窮大」？

對於芝諾那個時代的人來說，沒有形成嚴格的極限概念，在他們觀念里所有的「無限」都是一樣的，從而導致了悖論。但是今天，任何一個認真聽高數課的學生都能說出這裡面的區別。數列是否收斂、極限是否存在，是可以嚴格判斷的。

二：無限與無限

無限與無限並不是一樣大的，著名的 Hilbert 旅館說明了，無限的一部分可以和整體一樣多：

有一間旅館有無限個房間，編號為 1, 2, ..., n, ...，全都住滿了，這時候來了一個新客人，於是老闆讓 1 號房間的客人搬到 2 號，2 號房間的客人搬到了 3 號，……，以此類推，每個房間的客人都挪到了下一個房間，於是 1 號房間空了出來，讓這位客人順利入住。
第二天旅館來了無限位客人，編號為 1, 2, ..., n, ...，這時候老闆聰明的想了個辦法，他讓 1 號房間的客人不動，2 號房間的客人搬到了 3 號，3 號房間的客人搬到了 5 號，……，以此類推，n 號房間的客人搬到了 2n-1 號房間，於是所有偶數房間空了出來，老闆讓新來的 k 號的客人入住到 2k 號房間，所有客人都順利入住了。

另一個與無限相關卻又違反直覺的思維實驗是 Ross-Littlewood 悖論，在知乎上也有人討論過，這裡也大致描述一下（悖論有很多版本，這裡描述其中一個版本）：

假設有一個無限大的盒子，一開始是空的。第一次操作放入 1~10 號小球，然後把 1 號球拿出來；第二次操作把 11~20 號球放進去，然後把 2 號球拿出來……如此反覆直到無窮，問，最後盒子里還剩幾個球？

一種觀點是有無限個球，因為每次操作都相當於放進去 9 個球；
一種觀點是沒有球了，因為對於任意一個 n 號球，它在第 n 輪被拿出來了；

同一個場景，卻得到了兩種截然相反的觀點，是不是已經顛覆想像了？這恰恰說明，對於「無限」這個概念，在數學上處理起來必須小心謹慎。對這個悖論，大家可以去 wiki 頁面或者知乎上的討論（如何看待 Ross–Littlewood 概率悖論？）看，至今並沒有一個公認的結論。不同的概念上的細微差別都可能導致截然不同的結果。

三：比無限更遠

在原始的芝諾悖論中，芝諾每一步操作（追上烏龜）的時間是等比例縮短的，這個等比級數的和是有限的（參見第一小節），因而實際上並不存在悖論。現在我們思考一個問題，如果我們採用一種特殊的「時間坐標」，在芝諾每一步操作後，其單位長度都會等比例縮小，以至於芝諾每一步操作所花費的時間實際上是一樣長的。我們把這種奇怪的時間坐標稱作「芝諾時標」，以區別於正常時標。

這一小小改變帶來了什麼呢？在我們正常時標下芝諾在有限的時間內追上了烏龜，但是在「芝諾時標」下，芝諾要花費無限長的時間才能追上烏龜。那麼對於我們正常時標下「芝諾超過烏龜」這件事，在芝諾時標下就是發生在比「無窮遠」還遠的地方了。

這並不僅僅是一個純粹的數字小遊戲。我們考慮一個宇航員帶著一個秒錶掉進黑洞這件事，從宇航員的視角來看，在穿過視界的一瞬間並沒有什麼不同，仍然能感覺到自己的時間在流逝，手中的秒錶一秒一秒在走動。而另一方面，根據廣義相對論，在外界遠處的觀察者看來，宇航員的每一秒都在變長，宇航員跌落到越接近視界的地方，外界看到的他的每一秒就越長，直到無窮大。那麼，宇航員穿過視界這一事件，在外界看來就是發生在「無窮長的時間」之後的事情了。類比我們定義的「芝諾時標」，這裡的遠處觀察者就好像處於一個芝諾時標下了。

這又是一個悖論，宇航員自己看來，自己明明穿過了視界，不可避免將要被黑洞吞噬，但是從遠處的觀察者看來，宇航員永遠不可能到達視界，被黑洞吞噬更是發生在「無窮長時間」之後的事件。換句話說，從我們遠處觀察者看來，黑洞永遠不會真正吞噬什麼東西，任何吞噬事件都發生在比我們的時間「無窮遠」更遠的地方。

但是現實中我們確實觀察到了黑洞合併的引力波，這是不是說明「比無窮大更大」也是有意義的？當然，廣義相對論里對這個也有一些討論和解釋，詳細可以參見這篇回答：蟬鳴之時：黑洞真的是吞噬了物體嗎？（那個問題下大概只有這篇回答是真正討論了這個問題的）。

藉助這個神奇的「芝諾時標」，我們可以在很多問題上面走得更遠。比如上面的 Ross-Littlewood 悖論，有一種說法認為，「無限次操作」需要花費無限的時間，因而討論「操作完成後」的狀態是沒有意義的。然而我們可以藉助我們的「芝諾時標」輕易跨過這個障礙。我們可以在第 1 分鐘的時候做第 1 次操作，第 1/2 分鐘的時候做第 2 次操作，……，第 1/2^n 分鐘的時候做第 n+1 次操作，那麼，這所有的「無限次操作」，一定會在前 2 分鐘做完（不妨想一想這裡「芝諾時標」是怎麼發揮作用的）。在這個意義下，「操作完成後」的狀態是有明確意義的，從而可以讓我們更聚焦在各種內在的概念細微不一樣的地方上。

四：尾聲

無限是數學上迷人而又危險的概念，人們弄清楚這個概念花費了上千年的時光。芝諾就是在這條路上披荊斬棘的先賢，在無數這樣先賢的努力之下，我們現代數學的基礎才更加的穩固。

即使如此，面對「無限」這個怪物，我們仍需要倍加小心，即使是今天，也有許多沒有公認解決的問題。這些問題不斷推動著我們對數學認識得更加深刻。

關於芝諾悖論，這個科普視頻做得非常好，不妨一看：

超級任務（跟芝諾悖論有關）【中英字幕】?

www.bilibili.com

芝諾的烏龜「悖論」的問題在於：沒有考慮運動時間或者認為收斂的無窮級數不存在（認為無窮多個正數相加一定等於無窮大）。

設人和烏龜為質點A和B，B的初始位置為，人和烏龜均勻速直線運動，並且（各物理量均大於零，）

假設當時烏龜位於處，按芝諾的理解人若要追上烏龜，那麼人必須在之後的時到達處，但此時烏龜已經爬到了處。

那我們就通過計算看看和到底等於多少，記：這裡是人從時刻走到烏龜在時刻所在的處所花的時間，而則是烏龜在這段時間的位移。

開始時，也就是從開始的這一段時間，然後： ……

可見是等比數列，由得，進一步得又由，得

由，得

按照芝諾的理解，要想達到時刻必須先到達時刻，那麼就意味著

由於是單調遞增的數列，那我們就看一看這個數列是否存在極限，由，得

這個數列存在極限，這就意味著，也就是時間，存在上界，也就是說，時間的大小會「封頂」。

「逝者如斯夫，不舍晝夜」——孔丘

實際情況是，表示時間的取值

這就是「芝諾悖論」的思維錯誤之所在，芝諾並不知道極限，無窮級數的相關原理，並且他只看到人和烏龜在往前走，卻沒有看到「人追上烏龜上次所在位置」的時間是在不斷縮短的。

而的極限值，恰好就是人追上烏龜的時間。當人追上烏龜的時候，人和烏龜位置相同，故．

關於這個問題，下面的內容可能會對你有所幫助。

德謨克利特發現，物質不可能是一個連續的整體，因為「物質是連續的整體」這一命題中包含矛盾。由於亞里士多德的轉述，我們得以了解德謨克利特的推理。德謨克利特說，假設物質是無限可分的，那就意味著它可以被分割無數次。想像一下你把一塊物質無限分割，會剩下什麼呢？

會剩下有維度的微小粒子嗎？不會的，因為如果是這樣的話物質就並非被無限分割了。因此，只會剩下沒有維度的點。但現在讓我們把這些點放在一起：把兩個沒有維度的點放在一起，你無法得到有維度的東西，用三個點、四個點也不行。無論你把多少個點放在一起，都沒法得到維度，因為點本身沒有維度。因此，我們認為物質無法由沒有維度的點構成，因為無論我們把多少點放在一起，都不會得到有維度的東西。德謨克利特推斷，唯一的可能性就是，任何物質都是由數量有限的不連續物質構成的，它不可再分，大小有限：即原子。

這種精妙論證模式的起源要早於德謨克利特。它來自義大利南部的奇倫托（Cilento）地區，一個現在被稱為維利亞（Velia）的小鎮。公元前 5 世紀時那裡是個繁榮的希臘人聚居地，那時叫愛利亞（Elea）。巴門尼德就生活在那兒，作為一位哲學家，他不折不扣地繼承了米利都的理性主義，以及誕生於那裡的理念：理性可以向我們揭示事物的本來面目，而非它們顯現的樣子。巴門尼德探索出了一種藉由純粹理性抵達真理的方法，他宣稱一切表象都是幻象，從而揭示了一種逐步趨向形而上學的思考方式，使其遠離了日後被稱為「自然科學」的東西。他的學生芝諾（Zeno）也來自愛利亞，他提出了精巧的論證來證實這種理性主義，強烈反駁了表象的可信性。在這些論證中有一系列的悖論在日後被稱為「芝諾悖論」；這些悖論試圖表明一切表象都不真實，辯稱慣有的運動的概念十分荒謬。

芝諾悖論中最著名的一個以寓言的形式呈現：一隻烏龜向阿喀琉斯（Achilles）發出挑戰比賽跑步，烏龜領先十米起跑。阿喀琉斯能夠追上烏龜嗎？芝諾聲稱，嚴密的邏輯表明他永遠無法追上烏龜。

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發佈於 2019-07-15繼續瀏覽內容知乎發現更大的世界打開Chrome繼續dhchen?

數學話題下的優秀答主

謝邀，芝諾悖論有好幾種，本質上是和時間相關的，只要數學能學好，你就能理解，這個悖論從數學上就是錯的，就像那些認為0.99999....和1不相等的人一樣只是數學太差了。

首先看看悖論的論述：動得最慢的物體不會被動得最快的物體追上。由於追趕者首先應該達到被追者出發之點，此時被追者已經往前走了一段距離。因此被追者總是在追趕者前面。

不好理解這個悖論？那麼我們換一種具體的表達吧，假設一個A的速度是2米每秒，起點問0點。B的速度是1，位於1點。芝諾認為A追不到B，因為A到1的時候，用時0.5秒，B已經到了1.5。A到1.5的時候，用時0.25，B到了1.75....以此類推。

但是，懂點數學的人知道這個其實不難，為什麼？因為每次的時間都是上一次的一半，你可以得到一個等比數列，而且計算完後恰好就是1秒。此時B移動到2米處。也就是說A和B在2米處相遇。

學過數學的同學知道，這個數列可以趨向某個極限，一般的情況下完備性就能保證此類問題的極限存在。只要時間和和實數一樣的完備（連續）體，那麼這不過是簡單的數學問題罷了。

所以啊，很多時候你得先學好數學。芝諾最大的問題也只是無法理解極限罷了。放到現在肯定高數掛科。

對了，很多人是不承認極限是存在的。也不承認極限是可以完成的，這類人就說時空不是連續的來規避這個矛盾。

所以啊，很多時候你得先學好數學。芝諾最大的問題也只是無法理解極限罷了。放到現在肯定高數掛科。

對了，很多人是不承認極限是存在的。也不承認極限是可以完成的，這類人就說時空不是連續的來規避這個矛盾。

芝諾是古希臘數學家，提出了一系列悖論以反駁時間和空間的連續性和變化問題，比較有名的有追烏龜和飛矢不動兩個。古希臘傳說中有一位跑的最快的英雄阿基里斯，海洋女神忒提斯和英雄珀琉斯之子。在阿基里斯出生後，忒提斯捏著他的腳踝將他浸泡在冥河斯堤克斯中，使他全身刀槍不入，惟有腳踝被忒提斯手握著，沒有浸到冥河水，是他唯一的弱點。在特洛伊戰爭中被敵人射中腳踝而死。有一天，阿基里斯遇到了一隻烏龜。烏龜對阿基里斯說：別看你跑得快，你永遠也追不上我。阿基里斯問為什麼呢？烏龜說，你看：如果阿基里斯在A處，烏龜在B處，同時出發。阿基里斯要追上烏龜，首先要追上烏龜先跑的一段AB，但是在這段時間烏龜也在向前跑，當阿基里斯到達B處時，烏龜已經跑到了C處，還沒有追上。雖然此時BC的距離小於AB的距離。阿基里斯會繼續跑BC這一段，但是這段時間烏龜也沒閑著，跑到了D處，雖然CD小於BC，但是阿基里斯還是沒有追上烏龜。以此類推，阿基里斯和烏龜之間的距離只能不斷縮小，但是永遠都不會變為零。綜上所述，阿基里斯永遠追不上烏龜。這個悖論的詭辯之處在於：芝諾將一個追及過程分割成無限多份，但是這無限多份的時間和距離之和是有限長。為了解釋這個問題，我們把追及過程畫在一個數軸上，並且假設AB之間距離為L，方便起見，設阿基里斯的速度等於兩倍烏龜速度。這樣一來，相同時間內阿基里斯運動的距離就是烏龜的兩倍。所以阿基里斯走過AB時，烏龜走過的BC段距離為L/2，阿基里斯走過BC時，烏龜走過的CD段長度為L/4...如果阿基里斯要追上烏龜，需要追及無線多段，將這無限多段加和我們會發現，隨著段數的增加，這個距離約來越接近2L。如果只有兩項，那麼與2L相差L/2；如果有3項，與2L相差L/4，如果有4項，與2L相差L/8...如果有無窮多項，阿基里斯走過的總距離就等於2L。同樣的，設阿基里斯走過AB段的時間為t，則總時間T等於芝諾把一段有限的時間和距離分割成了無限多份，是不能得出追不上的結論的。實際上芝諾的這種做法類似於微積分，將一個過程無限分割，再進行累加，這恰好是微積分的基本思想。分割無限多份後越往後的小段時間和空間越小，稱之為無窮小。牛頓和萊布尼茨提出微積分後，人們發現了微積分的重要應用，解決了許多數學和物理的問題。