數學上的「幾乎」怎麼理解？
比如說：幾乎處處可導。
要理解幾乎處處（almost everywhere，a.e.）肯定繞不開對測度的理解以及一個經典的函數栗子，狄利克雷函數（Dirichlet Function）。
首先是對測度的定義，我對測度通俗的理解就是用一把「尺子」去進行測量，測量後的結果就是對測量對象「多少，大小，長短」等屬性的數值描述，與之相關的數學定義有：
定義1 勒貝格外測度（Lebesgue outer measure）：設E為 中任一點集，對於E的一個開覆蓋
E，記它的體積總和
，（其中
在一維中是區間長度，二維中為矩形面積，三維中為方體體積，n維中以此類推），因為E有各種各樣的開覆蓋形式，所以
的取值構成一個集合，在這些集合中取下確界即是E的勒貝格外測度（Lebesgue outer measure），也稱L外測度，記為m*E，
定理1 勒貝格外測度有三條基本性質：
（1）
（2）
(3)
看到這裡，有的人就會問了，為什麼定義里叫外測度，不叫測度，這個「外」體現在哪裡？其實對於一個集合它的外測度不是測度的原因在於第三條次可加性導致的，剛才提到測度就是一把「尺子」，是尺子就要有標準，一個符合標準的測度應該滿足以下三個公理：
定義2 勒貝格測度公理：對於實數軸上的一部分集合族 Ω，對於每一個E∈Ω都對應一個實數m，滿足：
（1）m(E)≥0 （非負性）
（2）如果E1，E2，.......，En，......兩兩不相交，那麼
m(E1∪E2∪......∪En∪......)=m(E1)+m(E2)+......m(En)+....... （可列可加性）
（3）m([a,b])=b-a（正則性）
根據外測度的定義，其實是存在這樣的集合族的，即E1，E2，.......，En，......兩兩不相交，
m*(E1∪E2∪......∪En∪......)&
因此，對於一個集合E它的外測度是不是可以作為它的測度還需要判別，判別的方法是卡拉泰奧多里(Caratheodory)條件公式：設E為 中任一點集，若對一任一點集T都有：
則E是可測的，它的測度就是外測度，即m(E)=m*(E)
在具體的實踐中，其實我們遇到的集合大都是可測集，也即測度就是外測度，而要證明一個集合是非可測集就要證明其不符合卡拉泰奧多里條件。
下面我們看一下一個集合E=Q∩[0,1]，E表示[0,1]中有理數的集合，它是一個可測集（證明起來並不簡單，就不證了），因此測度就是外測度，那麼E的測度是多少呢？我們不妨把E按
1
1/2
1/3 2/3
1/4 3/4
1/5 2/5 3/5 4/5
1/6 5/6
1/7 2/7 3/7 4/7 5/7 6/7
...........
1/n 2/n 3/n ....... n-1/n (若是以n為分母的數已經在之前出現過，就不再排列這個數）
............
這樣就把E按照一定的規律排列起來，把E記為[K1,K2,K3,......,Ki,........]其中Ki，表示按上述排列規律中的第i個數，對於Ki，取一個開區間 =(
，
），則構造了一個E的開覆蓋
E，於是有
=
E是可測的，所以m(E)=m*(E)=0
也就是說，在[0,1]區間中，有理數的測度是0，測度為零的集合也稱零測集，
又m[0,1]=1-0=1，[0,1]區間中無理數測度m( )=m[0,1]-m(E)=1
於是我們發現，在[0,1]區間上，無理數的測度和[0,1]區間測度是一樣的，而有理數的測度是零，因此在測度意義上，區間[0,1]和區間[0,1]中無理數一樣的，那我們就可以說在[0,1]區間上幾乎處處是無理數
更概括的說，如果我們說幾乎處處是S，等價於說m（ ）=0
比如說：
函數f是幾乎處處連續的，等價於說f所有不連續點組成的集合是零測集。
函數g是幾乎處處可導的，等價於說g所有不可導點組成的集合是零測集。
PS:費了老大的勁兒終於把幾乎處處這個問題說好了，但是更進一步，我們引入幾乎處處這個概念是為了什麼？包括測度的概念，不只是為了好玩，更重要的是幾乎處處和測度引出了勒貝格積分的概念，而我們在高等數學中學到的積分是黎曼積分，黎曼積分某種意義上可以說是勒貝格積分的一個特例。並且涉及到一個非常重要的定理：
定理3：設 是
上有界函數，則
在
上是黎曼可積的充要條件是
在
上幾乎處處連續，即
在
上不連續點全體構成一個零測集。
我上述講的都是實變函數中最基礎的內容，我想上過實變函數的同學理解幾乎處處應該是沒有問題的。如果還沒上過實變函數對測度概念還不清晰，理解起來確實會有些困難。
這個概念也有比較準確的定義，不能簡單地從字面理解，比如首先得知道——什麼是
我們給定一個集合 ,如果對於任何的
,存在集合
的有最多可數個開區間組成的覆蓋
,且這些區間的長度和
不超過
，則稱
（在Lebesgue意義下）有
或稱它是一個
迪利克雷函數 在區間
中間斷點的集合就不是零測度集.
在集合 上如果除去零測度集合的點，某一性質成立，則說該性質在集合
上
成立，或者說在
的
有該性質.
即不滿足條件p的點構成一零測度集。
如Dirichlet函數
還有另一種表達方式
而 ，所以我們可以說
幾乎處處可導數學語言是
那叫"幾乎處處"，不要把這個專有辭彙割裂開
應該是「幾乎處處」，不要分開理解哦，這個翻翻最基礎的實變書就行。
如果你說的是"almost all", 那可以是
- 除了有限個
- 除了一個零測集
- 密度為1
.......
一部分情況可以通過在集合上添加測度(e.g. 余可數測度)來過渡到測度論的幾乎處處.
更多的例子可以參考
https://en.wikipedia.org/wiki/Almost_all?en.wikipedia.org「幾乎處處可導」里你需要關注的是「幾乎處處」是什麼意思。』Almost everywhere』這裡指什麼其他答案說了。
數學裡還有其他「幾乎」，但同樣是和後面那個詞作為一個整體理解。比如漸近統計里的』almost surely』. 不同的上下文里「幾乎xx」的意思各不相同，「幾乎」本身在數學裡並沒有統一的意義。
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