因為它一維,所以它才叫曲線,與外圍空間的選取無關,我們在二維空間中來看這個曲線,只是因為這個曲線恰好可以嵌入到二維空間而已,你可以把它嵌入到很多個高維空間中來看,但並不會影響它本身的維數。


因為曲線是一維的


定義在不同維數的歐式空間中的曲線,其參數方程所含參數均為一個,定義曲面,其參數方程的參數卻是從2個到n-1個不定。具體要看R^n的維數。

  1. x_1=x_1(t)…x_n=x_n(t)表示n維歐幾里得空間的曲線,特別地,當n=2,3時,就是平面和空間中的曲線。
  2. 三維空間中的曲面參數方程可以表示為x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)


因為曲線是線啊,一維,也就是自由度只有一。就算硬寫成兩個參數的形式,兩個參數之間也一定能找到某種關係,從而消去一個。


線始終是1維幾何元素,不管是數軸直線,平面曲線,空間曲線,變數始終只有一個,在二維平面,不管是函數表達,方程表達,參數方程,真正的獨立變數只有一個,而另一個變數是因變數,或者參數方程xy都是的因變數。同理,曲線在三維空間,xyz都是t的因變數,不管線處於幾維空間。自變數始終只有一個。

同理,曲面只有2個變數,即便在三維空間,也只有兩個變數獨立,有一個變數不獨立,z=f(x,y)或者y=g(x,z)或者x=……

或者向量參數方程r(u,v)=f(u,v)i+g……

以此類推。這玩意和維度理論,線性代數,空間解析幾何有很大關係。要完全弄明白得去學一下這些相關課程


因為它只有一個自由度,即只被一個坐標約束住了。


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