1.我这个问题的产生主要是因为我弄不明白对于任意和无穷之间的关系，我在群里问了一下别人说任意是指的在某个集合里任意取，如果这个集合包含无穷，那么任意x属于这个集合都成立，此时无穷的情况也成立。如果不包含无穷，那么任意的情况就不包含无穷，这时候无穷的情况要重新讨论。不知道这里理解的对不对

2.然后我就想到对于x属于R成立的定理，能说明对于x趋于无穷也成立吗，经过查资料发现无穷不属于R，那么趋于无穷的情况就要重新讨论是否成立。比如1/n对于任意的n属于N＋都大于0，但是n趋于无穷时就不成立了，是否可以理解成无穷的情况是不属于正整数集的，它需要重新讨论。

3.再有一个例子是1/x在（0，1）不一致连续，但是在（0，1）内的任意闭区间一致连续，是否可以理解成（0，1）不属于闭区间，所以要重新讨论结论是否成立。

4.还有一个是用数学归纳法证明，对于任意n属于N＋成立结论，但是不能随便推导到无穷的情况使得结论也成立，是不是也是因为无穷不属于正整数集，因而需要重新讨论。

5.另外，n＞0这个集合包含正无穷吗？

6.（－∞，＋∞）是不是等于R，不包含正负无穷

7.还有就是f(x)＝1－x 对任意x∈（0，1）有f（x）＞0，但x趋于1时f(x)与0的关系是什么，这个按照任意和极限的关系应该怎么理解，此时x趋于1是属于(0，1)这个区间里吗。当然这个极限是0，这时候x趋于1和任意的x∈(0，1)之间是什么关系?

我分了7条，解答时候可以按点回答，我哪里理解有问题可以直接指出来是哪一条出了问题。

希望大家能帮我解决这个问题，谢谢大家

很久没看到这么认真的问题描述了。有一个建议是可以去找一本数学分析的书来念一念，看一看极限语言是怎么发挥作用的。尤其去理解一下两个参数的依赖性，这也是最困难的

简单说一下，一般来讲数学分析或者说常用的分析学框架下的任意就是你所说的那个意思，在实数集 中一般不会包含无穷远点，包含的情形也有叫做扩充实数系，如果我们的讨论需要无穷远点或者说一个映射会对应到无穷远点的话，会专门指出，此时也有记号是 。

但是不管他包不包含，这并不会影响我们讨论极限性态，比如在式子 这个过程中，你可以看到其实我们并没有真的要求 ,我们只是说当 充分大之后，会怎么怎么样。甚至对于开区间 ，我们也可以自然地去讨论在某个函数在两个端点极限是多少，我们的叙述也是对于任意靠近端点的区间内部的点怎么怎么样。事实上，不借助极限语言，你根本说不清楚什么叫 。

回答一下问题：

1. 在不单独强调的情况下是这样。但是我们可以考虑极限的情形。

2. 一般不能成立。极限的情形有时会把严格大于号变成大于等于号，但是绝不可能变成小于号，上下确界的情形也是一样的，这一点需要你读极限语言。

3. 当然不是闭区间，一致连续的性质和紧性有关，这一点也需要你读实数系基本理论。

4. 数学归纳法不能覆盖无穷远点。

5. 一般不包含，需要讨论的时候会刻意指出。

6. 7.前面说过了。

最后，不要胡思乱想，打开数学分析，读书就好了。思而不学则殆。

命题：对于任意的 有

然而对于任意一个 时设 ，则对于所有的 有 。因此 ，这与前面的命题是矛盾的

举个例子，y=x2，对于任意实数x，y取非负实数，然而x趋于无穷大时，y趋于无穷大，换句话说limy=∞，所以这个例子是你的问题的一个否定说明了，这是一方面具体的说明。另一方面，x趋于无穷大是一个极限过程，而极限与有限实值函数不同的是，极限可取无穷大，任意x也就是任意给定的一个x，而无穷是一个逼近过程。这就是无穷大和任意的区别了。

数学概念需要自己慢慢掌握，加油吧!

前面 @Eric G 已经给出了非常仔细的回答。我再加一句狗尾续貂的话：如果没有掌握用 语言严格给出的极限概念，就不要使用「无穷大」，「无穷小」这两个词。

泻药，x趋于无穷，有两个意思，一个是趋于无穷的数列，另一个是无穷大这个点。

任意x属于实数则成立的结论，对于趋于无穷的数列的每个点，结论都是成立的。然而对于无穷大这个点来说，不一定成立。

举个例子，m属于大于等于1的实数，

f（x）=0 （x＜1-1/m）

f（x）=mx-m+1（1-1/m≤x＜1）

f（x）=1 （x＞1）

显然，m属于任何实数，f都是连续函数，然而m趋于无穷的极限对应的f却不是连续函数。

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函数的极限与任意的x关系。解答见下：

其中谈到，链接见下：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/84604744?

zhuanlan.zhihu.com

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一般说的实数集不包括∞，有的框架会把无穷看做实数，例如在射影几何中，只要不破坏这个框架的一致性。无穷这个东西比较费脑子，它的费解之处恰好表现了人的逻辑思维的特征。只要采取逻辑思维，而不是天马行空式的意象思维，就一定会面临「如何理解无穷」这个问题。

打算深入了解这种问题的话，建议去看数学哲学里面对实无限与潜无限的讨论。有的人可能把数学与哲学看作是「不应该有任何关系的」学科，还会讽刺那些在数学讨论中引入哲学分析的言论，不过「数学哲学」确实是很严肃的，也很深刻，绝不是「数学玄学」。

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对任意的实数x，我们有 ，但

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尝试从概念本身出发，在逻辑层面揭示某些可能存在的矛盾。

至于矛盾是否真的存在，见仁见智。矛盾的存在说明定义的严谨性。也可以发现不了，也可以选择性忽略。其实关于无穷大，人们没搞明白的地方有很多。

且看「无穷大」与「任意大」的定义：

设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0&X,即x趋于无穷)，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|&>M，则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。

1、从概念的层面上讲

任意大：首先它是一个数，然后它很大

无穷大：比所有的数都大，所以它不能是一个数。(如果它是一个数，就存在＋1，比它自身还大)

可见，「无穷大」与「任意大」并不是一个概念。如果问题这么简单，就不必疑问了。真正的疑问是：任意大有多大？是否能等于无穷大？

2、任意大的数的大小可以有多大

任意给定一个正整数m，由「后继性」可知，必然存在m+1&>m也是一个任意大的数。不妨令其后继数的通项为f(x)=m+1*x，易知，当x→∞时，f(x)→∞，这不就是上述无穷大的定义吗？

可见，任意大的数，大到一定程度，其大小就与无穷大无异了。

当然，严格地说是趋近于无穷大。这是极限的概念。从极限的角度说，「趋近无穷大」与「无穷大」只相差了一个「无穷小量」。在多数场合下，两者是等价的。

这不是矛盾吗？明明「任意大」的数，是一个数，数的定义不允许其「等于」无穷大；而事实上，任意大的结果是可以等于无穷大。没办法，涉及到无穷大，很多定义就是这么矛盾。例如，

3、整数的「位数」必须有限吗？

反证法：假设一个整数的位数为无穷大，则这个整数的大小为无穷大。即没有比它还大的数。由于它是一个整数，故存在后继数+1比它还大。矛盾。故整数的位数不能无穷大。

矛盾多著呢，同样用反证法，还可以得到完全相反的结论。哪一个对、哪一个错呢？

反证法：假设整数的位数不能无穷大，则位数必须有限。不妨令其限度为N，根据整数乘10进位法则，必存在一个位数为N+1的整数，这与位数的限度为N矛盾。故整数的位数可以无穷大。

这些矛盾，源自于人们对无穷大认识的局限性。

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