计算极限的所有方法都是证明数列收敛的方法，因为极限值都计算出来了，当然他就收敛了。如果极限值计算出来是不存在，那就不收敛呗。所以定理吗？太多了，一个一个跟你说吧！如初初等函数连续定理。极限四则运算的定理，有界变数乘以无穷小仍然是无穷小的定理。罗比达法则定理，函数经过初等变形极限极限仍然相等的定理（其中用到了改变函数有限个点的函数值，不改变函数的极限值定理），等价无穷小替换成除因子定理，怎么样？定理多吧，要不然我给你来一个链接吧，我有一个怎么计算极限的小结。里边有很多能够算出极限的定理，也就是能够证明收敛的定理。

https://www.zhihu.com/answer/800698165?

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柯西收敛准则、定义

柯西收敛准则

  1. 定义Prove it by definition!
  2. 直接计算Calculate! （引到你的另一个四则运算的提问，好嘛，这还是个连续剧hhh）
  3. Cauchys criteria
  4. ……

还可以用定义证明呀，柯西收敛准则也行

补充一条吧，还可以利用上下极限相等来说明，尤其是递推序列，可以直接取上下极限，可能会有意想不到的收获(^o^)

（1）Stolz定理

（2）Cauchy收敛原理

（3）有两个子列收敛于同一极限

还可以看下奇子列，偶子列

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