這個跟分形幾何有什麼關係嗎？多謝指點。

1967年，數學家 曼德布羅特（B.B.Mandelbrot）在美國權威的《科學》雜誌上發表了一篇嚴謹的學術論文：《英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度》。

在論文的第一部分，曼德布羅特討論了理查森對海岸線與其他自然地理邊界的測量出來的長度如何依賴測量尺度的研究。理查森觀察到，不同國家邊界測量出來的長度L(ε)是測量尺度ε的一個冪律函數。曼德布羅特將此結果詮釋成顯示海岸線和其他地理邊界可有統計自相似的性質。

在論文的第二部分，曼德布羅特描述了不同的關於科赫雪花的曲線，它們都是標準的自相似圖形。曼德布羅特利用豪斯多夫方法得到它們的維數介於1~2之間。

在1998年中文版的《大自然的分形幾何學》第二篇 第5章 英國的海岸線有多長，也有論述。通過4種測量方法，得出結論。

這裡我用一個很規則的分形例子做一個簡單說明。

設初始正方形的邊長=1單位，用Koch曲線的方法構造一個分形島嶼（圖1和2）。生成元是5個相等小正方形，分形屬於可填充平面的，分形維數 [公式] 。

分形的邊界相當于海岸線，這個邊界也是分形。生成元是3條等長線段組成，相似比 [公式] ，分形維數 [公式]

第 [公式] 級島嶼的周長，用尺子長度為[公式]去量，每級島嶼的周長如下：

  • 第 [公式] 級構造的周長 [公式]
  • 第 [公式] 級構造的周長 [公式]
  • 第 [公式] 級構造的周長 [公式]
  • ……
  • 第 [公式] 級構造的周長 [公式]

當 [公式] 時，尺子長度[公式]，周長 [公式] 。

圖1 第0級到第3級構造

圖2 分形島嶼

海岸線問題是為了引出「分形」和「測度」，這個高贊已經解釋得很清楚了。但有一點要注意，拿海岸線舉例，並不是真的說海岸線是無窮長的，這只是個引子，類似詩歌里的比興，真正的重點在後邊的數學推導和新概念的提出。

分形是數學概念，和物理世界無關，現實中的海岸線並不是真的數學上的分形，它並不是無限可分的。比如有很多樹狀的分形，但自然界中真正的樹，枝叉的層級通常也就不過五層。

另外，即使是分形，也有長度收斂為有限值的，比如下邊這個回答

葉飛影：為什麼分形圖案的長度是無限大而不是無限接近一個值？?

www.zhihu.com圖標

此問題可簡化為：三角形兩邊之和大於第三邊。

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