如果對任意實數，有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(1)=1，能求出函數f(x)嗎？

我猜測f(x)=x，對任意整數很容易證明，進而可以推到任意有理數，但對任意實數的情況，能否證明或否定

經典的柯西方程，結論是

1.在 [公式] 上一定有 [公式]

2.如果 [公式] 在 [公式] 上不是線性函數，則 [公式] 是一個病態(pathological)函數，其圖像在 [公式] 上稠密

3.如果你承認選擇公理的話，我們可以相對明確一點地構造出這樣的病態函數

我們直接從第2條開始

如果 [公式] 在 [公式] 上不是線性函數，則存在非零實數 [公式]

因此向量 [公式] 線性無關

因此對 [公式] 上任意一點 [公式] , [公式]

顯然存在有理數列 [公式] 趨於 [公式]

因此考慮 [公式] 也是 [公式] 的圖像上的點（注意這裡 [公式] 是有理數所以可以乘進去）

而 [公式] 是可以無限趨於 [公式] 的，因此對於對 [公式] 上任意一點 [公式]， [公式] 的圖像上都有點無限趨於它，因此其圖像在 [公式] 上稠密

雖然這個函數如此病態，但在承認選擇公理的基礎上，我們可以引入哈默基的概念並給出相對明確一點構造

Hamel basis：哈默基 [公式] 滿足

(1) [公式] (2) [公式] 中任意有限個元素在 [公式] 上線性無關(3)任意實數都可以表示成 [公式] 中的有限個元素的有理係數線性組合

也就是說把 [公式] 視為 [公式] 上的線性空間

此時對於 [公式] ，我們考慮 [公式] 在 [公式] 上的限制：對於 [公式]

因為 [公式] 和 [公式] ，故 [公式]

因此只要確定了所有的 [公式] ，這個函數就能被確定下來了

也就是說對於任意函數 [公式] ，都存在唯一的加性函數 [公式] ，使得 [公式]

因此最終結論就是：純柯西方程是無法直接得出線性的，但加一點點點點條件基本都可以得到線性——你只要要求函數圖像在 [公式] 上不稠密就可以了（

補充連續性的條件後，可以證明：

定義在 [公式] 上且滿足 [公式] 的連續函數必為 [公式] 其中 [公式] 是某一常數。

首先，利用數學歸納法，容易證明

[公式]

因 [公式] 任意，可將 [公式] 中的 [公式] 置換為 [公式]，就有

[公式]

再將 [公式]中的 [公式] 置換為 [公式] (其中 [公式] )，可得

[公式]

另一方面，由題設條件容易推得 [公式] 以及 [公式] 於是，類似可證

[公式]

顯然地，至此我們已經證得

[公式]

在 [公式] 中取 [公式] 並將 [公式] 記為 [公式] 就有

[公式]

現僅需證明可將 [公式] 推廣至對任意無理數也成立. 為此，對任意的無理數 [公式] ，我們構作一列收斂於它的有理數序列 [公式] ，這是總可以實現的，比如我們可以按數位依次截取 [公式] 的無盡小數表達式的各段來記作 [公式] 的各項。這樣一來，依 [公式] 就成立

[公式]

對 [公式] 取 [公式] 的極限就有

[公式]

利用題設的 [公式] 的連續性，有

[公式]

於是

[公式]

綜合 [公式] 即得結論。

定義域是實數時，同樣有一族函數滿足條件，但有些是極其複雜的，所以我們需要更多的條件得到f(x)=cx，以下條件可得f(x)是正比例函數：

◎f是連續函數，條件也可減弱為f在某點連續。

◎存在a,b∈R,(a&

◎f單調，或f在某開區間單調。

◎存在ε1&>0,使得x∈[0,ε1],有f(x)≥0,或者存在ε2&>0,使得x∈[0,ε2],有f(x)≤0

另外，如果沒有其他條件的話，（假如承認選擇公理AC成立），那麼有無窮非f(x)=cx的函數滿足該條件,這是利用哈默基的概念證明的。

幾個條件的證明

函數連續:由於函數連續，且有理數稠密，不難說明f(x)=xf(1)在x為任意實數上成立（利用有理數逼近）。

函數在區間有界,定義函數g(x)=f(x)-f(1)x,顯然g是實值函數。

由於g(x+y)=f(x+y)-f(1)(x+y)=(f(x)-f(1)x)+(f(y)-f(1)y)=g(x)+g(y)

所以g(x)也是滿足柯西函數方程的函數

因此任意q∈Q,我們有g(qx)=qg(x)

由於f在(a,b)上有界，那麼設界為M，即任意x∈(a,b),有|f(x)|≤M

那麼由於|x|≤max(|a|,|b|),有任意x∈(a,b),

|g(x)|=|f(x)-f(1)x|≤|f(x)|+|f(1)||x|≤M+max(|a|,|b|),即g在(a,b)有界

由於任意x不在(a,b),有有理數q，使得x-q∈(a,b),

即|g(x)|=|g(x-q)+g(q)|=|g(x-q)|同樣有界,即g(x)在R上有界

而若有x∈R,使得g(x)不為0，那麼必存在n，使得|g(nx)|=n|g(x)|趨向無窮大，矛盾。

因此g(x)=0恆成立，即f(x)=f(1)x

函數在某點連續:根據連續的定義可知，任意δ,存在ε，使得x∈(x0-δ,x0+δ),|f(x)-f(x0)|&

函數單調或在某區間(a,b)單調，那麼任意x∈(a,b),f(q1)&

其中q1&x,將q1,q2逼近x，不難說明f(x)=xf(1)

而任意x∈R,存在q，使得x=qr,r∈(a,b),q∈Q,

同理可知成立。

函數保號保號是指：存在ε1&>0,使得x∈[0,ε1],有f(x)≥0,或者存在ε2&>0,使得x∈[0,ε2],有f(x)≤0。

根據對稱性我們只需證明"存在ε1&>0,使得x∈[0,ε1],有f(x)≥0"的情況。

任意y&>x,存在n,使得e=(y-x)/n∈[0,ε1],那麼利用

f(y)-f(x)=f(y)-f(y-e)+f(y-e)-f(y-2e)+...+f(x+e)-f(x)=nf(e)&>0,即可得f(x)單調，化為上麵條件

該函數是kx型函數當且僅當它是可測函數，當且僅當它在原點連續。

令y等於1

然後是一道等差數列題目了。

over!

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