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不能啊，那整數是啥？

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實際上皮亞諾公理基於集合論和數學歸納法，規定了幾個操作，在這幾個操作下，自然數是可生成的，加減乘除是可生成的，這種思想很重要，他就像在給你保證，你遵循我的規則所做的操作都是沒有風險的。

規定了操作方法，遠比自然數是什麼更有價值。

學習數學的過程中我發現有很多有影響力的理論思想，都是在操作方式上進行了革新，我羅列一些例子：

小革新比如勒貝格積分，換一種數區間的操作，拓寬了黎曼定積分的邊界，

大革新比如群論，針對操作進行研究，開創了代數研究的新方法，使他從研究方程根，拓展到了研究各種操作本身的學問，其中包括操作的操作（應該叫操作學）。

五次方程沒有通解相當於說，加減乘除開根五種操作，無法表示所要求的那個數，也就是說我們證明一個東西是否存在，有一個角度就是從可操作性去證明的，

所謂初等函數是反對冪三指進行有限次加減乘除開根運算得到的，而初等函數無法表示就是無法用這五種基本操作得到的函數，比如Gamma函數，必須寫成積分（一種操作）才能表示，

一些微分方程沒有初等函數解，所以探究出了無窮級數解法，無窮級數也是一種操作，即無窮加的操作，

經過幾個定義在集合上的操作，我們得到了拓撲空間，在拓撲空間上繼續定義一些操作，我們就能推出度量空間，極限理論就這麼建立了，

同樣由於皮亞諾公理規定了自然數的生成操作，在這個基礎上再加一些四則運算操作，就知道有理數和自然數等勢為可列集也是易得的。

所以我覺得數學，就是在操作的方法和思想的革新下發展起來的，不同的操作對應著不同的數學實體。

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那你得先定義什麼是整數，以及正負的概念

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不能，自然數是比整數更基本的東西

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這句話有點同義重複的感覺，就類似於「錯誤是非正確」，我個人覺得皮亞諾公理的精髓在於數學歸納法和公理化思想。

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通過皮亞諾公理，我們定義了整數自然數的概念，並定義了整個代數學的概念

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這是循環定義，所以說，不可以

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... 整數是在皮亞諾公理的基礎上拓展的………

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