但是如果 , 左邊的路徑在 附近 會發散, 故只能選擇右側的路徑. 反過來 時右側的路徑在 附近 會發散, 故只能選擇左側的路徑.

在選擇了相應的閉合迴路後, 紅線(也就是補上去的那一段)對積分的貢獻是零, 因為 在相應的紅線上是指數級別下降的. 因此, 如果 在相應的迴路包圍的區域內沒有奇點, 引用留數定理就有Perron公式

Riemann Zeta函數

現在終於可以步入正題了, Riemann Zeta函數是一個這樣的函數:

顯然, 這樣定義的函數在 處是收斂的, 但在 處是發散的. 在它收斂的地方, 有Euler乘積公式

其中乘積對所有素數進行(是的這篇回答到這個地方才出現了一點和數論有關的東西). 證明需要用到算術基本定理, 是說每個正整數都有且僅有一種方式分解為素數的積. 如果把每個 因子看成是一個等比數列, 乘出來展開之後正好得到所有「素數的積」的組合, 也就遍歷的所有整數.

一個直接的推論是

再次注意到 正好可以展開成等比數列, 就有

現在要干一件事情, 叫做解析延拓. 前面已經說過 的定義會在 處無意義, 但正如

一樣, 左邊一個只有在 內有意義的式子可以通過某些手段變成一個在整個複平面上除了 處有意義的式子. 也一樣, 只不過這個表達式是一個複雜的積分, 它在 處都有意義, 這裡暫時不把它寫下來. 需要注意的是, 在解析延拓之後在 的區域內可能會有零點, 這是從定義式里看不出來的.

引用Perron公式,有

引入von Mangoldt函數

則右邊正好是

左邊可以引用留數定理, 得到

• 的奇點的貢獻: 在 處, 貢獻
• 的零點的貢獻: 在諸 處, 貢獻
• 的奇點的貢獻: 在 處, 貢獻

可以證明, 的零點只有兩種, 一種是 處的平凡零點. 另一種是在 內的非平凡零點. 將後者(非平凡零點)記作 , 就有von Mangoldts公式

如果所有非平凡零點都有 , 則 (警告: 從von Mangoldts公式直接這樣推斷實際上是不嚴謹的).

現在來說明 . 積分可知

但是

因此現在讓 , 如果 , 左邊大概以 的方式趨於零.

但右邊, 一個大於零的東西, 不可能是零, 矛盾.

所以 在 上無零點.

因此 . 再注意到

後面幾項的大小不會超過 . 而第一項可以劃分為

其中 任取. 如果記 , 即小於 的素數的數量, 那麼

注意 立刻有素數定理

實際上, 更精確的形式為

設 是 的上確界, 則這種形式的誤差由 給出.

Riemann假設為, 所有

因此Riemann假設蘊含 , 這已經是能做到最好的逼近了.

舉個例子

那麼

就代表了 在 內的整數解的個數。

這就可以用一些積分的估計來估算整數解的個數。

謝邀。

可以看看Apostol的intro to analytic number theory。主要是通過研究數論函數的分析性質，比如pi(x)，歐拉函數等等。

最粗淺和初等的理解是用連續的東西（積分）去估計離散的東西（數論函數）。

最簡單的例子：你可以用log(x)去估計∑_{n≤x}(1/n)。

當然，為了讓估計容易進行，往往需要進行一些變換，比如M?bius inversion, Abel transform之類的技巧。

Apostol / Iwaniec上前幾章就有不少例子可以去看一下。

往深里說就會涉及到zeta函數的零點與素數分布的關係之類的涉及複分析的內容了。

下面這個知乎回答里簡單介紹了什麼是解析數論里的圓法和篩法，我想這可以讓人對微積分方法如何在數論中得以應用的有一個初步而粗淺的概念：

因為我並不懂數論所以我也說不了更多了。