數學上通過引入新的公理來證明猜想和在已有的公理體系內證明猜想有何不同？
不同之處在於問題本身。猜想不在已有認知公理體系內的，自然需要引入新的公理。
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數學上的公理或初始假設，是用作它自己的理論體系演繹推導（即證明）的出發點的少數思想上的規定。數學史權威M?克萊因教授指出：「亞里士多德認為公理是從觀察實物（物理對象）得出的，它是直接為人們所理解的一般性認識。」[1] 就是說，公理是根據感性經驗的認識得出的。
根據不同的公理，只能建立不同的理論體系。根據新公理即可建立新的理論體系。
辯證唯物主義認為，世界統一於物質。世界物質統一性原理（即物質實踐直接經驗導向的公理：「宇宙只有一個」）是馬克思主義哲學的基石，也是數學科學的根基。
嚴格地說，數學科學上的公理與物質理論科學（物理學）上的公理是統一的。
公理是理性認識（理論演繹體系）的出發點。理性認識是從實際經驗的感性認識升華髮展得來的，而不是空想出來的。
數學中不言而喻或不證自明的公理，即是嚴格從肉體感官實際經驗的感覺到達思維的直觀抽象並升華髮展為理性認識階段定量演繹出發點的少數思想上的規定。
就我們人類的整個現實宇宙中的事物而言，一切數學猜想或一切度量存在性證明的充要條件，是世界物質統一性原理，亦即實踐直接經驗到存在的實物「一尺」絕對運動之幾何學形式導向的公理：「宇宙只有一個」。
怎樣從實踐經驗事實中找到數學科學的公理——「宇宙只有一個」？詳參《物的數論及其哲學原理》：https://mp.weixin.qq.com/s/yygwQRCHsfwshPVyK1BvUA
宇宙數論及其哲學原理?mp.weixin.qq.com??
參考
- ^〔美〕莫里斯?克萊因. 古今數學思想: 第一冊[M]. 張理京、張錦炎、江澤涵,等,譯. 上海科學技術出版社, 2014:43-44.
機器貓學長您確定我能回答這種問題嗎......
應該沒有本質上不同，只是需要更小心一些。
根據公認的數理推導出的結果沒有異議。如果大家不懂剩餘數規律，就看不懂相關的計算和證明。
你可以把猜想作為新公理，這樣就不用證明了
證明將沒有意義
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