這是一道數學分析證明題：

設有界函數 二階可導且滿足 。證明 是常值函數。

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利用反證法。設若 則必存在不同的 滿足 這裡，不妨設 以及 進而由題設條件 蘊含的函數凸性（convex）可以推得，對任意的 都成立著

也就是

現命其中 則將有 這與題設的 有界性矛盾，於是推翻反設，命題得證。

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題目有問題吧，比如f(x)=x^2，然後二階導數是2，恆正，但不是常數。

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This is not difficult:

https://proofwiki.org/wiki/Differentiable_Bounded_Concave_Real_Function_is_Constant?

proofwiki.org

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由 f(x)≥0 得 f(x) 不遞降

設 f(x1)&>0 則對任意 x&>x1 有 f(x)≥f(x1)+(x-x1)f(x1) 趨近於 +∞

設 f(x2)&<0 則對任意 x&

上兩式均與 f(x) 有界矛盾 故 f(x)=0 f(x) 為常函數

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看不懂？

y=x^4，

f『=12x2&>=0，

但X^4不是常數函數啊！

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給一個積分的回答吧

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直接證明：二階導數非負說明一階導數單調增（不減），又因為原來的函數有界且單調，所以在正無窮處和負無窮的導函數極限必然是0。又因為導函數單調增，所以根據極限保號性，導函數大於等於0，且小於等於0，根據夾逼準則導函數必須是0，推出原函數是一個常數函數。（我不是專業 ，看看就好，我的教材上說的單調增相當於單調不減，不知道別人的教材咋敘述的）

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寫的比較急，應該看的清吧。

這種題目在凹凸函數（數學分析）哪裡有很多，不過更多的是以極值來考察的。

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