我們給出一個映射 [公式] 為

[公式] 因為我們按照定義可以很容易發現這是一個連續滿射還具有連續逆映射(記為 [公式] )，因此映射 [公式] 給出了從 [公式] 的一個同胚

因此他們具有關於 [公式] 對稱的一個必要條件了

巧妙之處是反函數存在條件恰好滿足以上

我們還知道坐標變換滿足如下矩陣形式

[公式]

因此我們發現 [公式]

對應的矩陣為 [公式]

如果帶入題目成立，結論就成立了

帶入原式得到

[公式]

其中：

[公式] 和 [公式] 特指坐標的基突出其不變性

很顯然，

[公式]

也即 [公式]

Q.E.D.

希望沒讓您難受

如何證明函數 y＝lnx 與 y＝e^x 的圖像關於直線 y＝x 對稱？?

www.zhihu.com圖標

(侵權也不刪)

根據 [公式] ，命題是顯然成立的

若平面上點 [公式] 與點 [公式] 關於直線 [公式] 對稱，那麼 [公式] 垂直平分 [公式] ．

平面上相互垂直的兩條直線，若均存在不為零的斜率，則兩斜率乘積為 [公式] ．

與直線 [公式] 垂直的直線的方程是 [公式]

設點 [公式] 在直線 [公式] 上，且 [公式] 平分 [公式][公式]，設直線 [公式] 與直線 [公式] 交於點 [公式] ，則 [公式] ，則有 [公式] ，進而有 [公式]

將點 [公式] 代入到 [公式] ，得 [公式]

再將 [公式] 代入到 [公式] ，得 [公式]

經計算（就是解關於 [公式] 的兩個一元一次方程），得 [公式]

所以曲線 [公式] 與曲線 [公式] 關於直線 [公式] 對稱，第二個曲線就是曲線 [公式]

定義若 [公式] ， [公式] ，則 [公式] ，其中當 [公式] 是， [公式] ，所以第一個曲線就是 [公式] ．

所以曲線 [公式] 和曲線 [公式] 關於直線 [公式] 對稱。

命題: [公式] 與 [公式] 關於 [公式] 對稱

既然是證明這兩函數關於直線 [公式] 對稱,

就不能直接採用反函數與原函數關於 [公式] 對稱了，

不然就算循環論證了。

GeoGebra抽風了 然後g(x)=ln(x)顯示不全233

已知兩條直線垂直,它們的斜率乘積等於-1

證明 [公式] 與 [公式] 關於 [公式] 對稱,

根據 [公式]

則 [公式]

即[公式]

設出 [公式]

設 [公式]

則 [公式] ，設 [公式]

現在我們欲證 [公式]

因為 [公式]

則 [公式]

解方程 [公式] ,不難解出 [公式]

解方程 [公式] , [公式]

[公式]

[公式]

成功證明 [公式] 之後,

對於 [公式]

[公式]

即 [公式] ,

成功證明命題。

[公式] _

第一，坐標關係。

第二，反函數。

因為互為反函數。 所以只是把y和x對調了，當然會對稱啊

考慮函數y=lnx上的任意一點(x0,y0)，作(x0,y0)關於直線y=x的對稱點記作(x1,y1)，於是有

y1+y0=x1+x0 (1)

(y0-y1)/(x0-x1)=-1 (2)

其中1式由中點在直線y=x上得到，2式由斜率乘積為-1得到，解得

x1 = y0, y1 = x0

由於y0 = ln x0, 得到 x1 = ln y1, 從而 y1 = e^x1，由於（x0, y0）點的任意性，得到曲線y=lnx上任意一點都存在曲線y=e^x上一點與之對應形成雙射關係。

故兩條曲線關於y=x對稱

根據反函數的性質

簡單無比，把x和y換個位置就行了。什麼原函數反函數我聽不懂，我只知道xy換位置就能解決問題。很嚴謹。

還要那麼多公式？都什麼水平，服了。你看看y=2x和x=2y這兩個函數是不是xy換個位置就行？

動不動就大列公式者，一般都是對數學沒有什麼深刻理解的

我的證明其實不算潦草。我只是認為，如此基本的數軸變換思想不應該出現沒人看得懂的狀況，特此進一步解釋一下。

我們來試著理解下面這段話：

[公式] 等效於在 [公式] 的基礎上，將x軸向正方向平移2個單位長度 。

乍一看有人會質疑，按照「左加右減」原則，應該是向x軸負方向平移2啊，為什麼你寫的是正方向？其實，只要我們仔細讀一遍這段話，就會發現其中提到的平移並非指圖像本身，而是指坐標軸。

2y=3x

2y=3(x+2)

從另一個角度觀察此二圖象，你會發現圖2既可以視為「圖象向左平移2」，也可以視為「x軸向右平移2」。

鑒於一般慣用右表示正方向，which is吻合於坐標軸的運動方向，所以我們有理由認定「平移坐標軸」是比「平移圖象」更接近數學本質的圖像變換。

大學內我們接觸了線性代數——這些大都是課堂上會涉及的內容，而不是什麼高深的思想。可以據此推而廣之，譬如 [公式] 在本質上看來，是 [公式] 的y軸整體縮短了 1/2（只需把2除到左側）。其對應圖象上的表達就是直線在縱向擴大二倍而已。

這是最低級的手法，但卻向我們揭示了最本質的變換：改變坐標軸（即「映射」）。通過這些啟示，我們可以類比出其他變換。

譬如在軸上乘以一個 [公式] ，就可以把數軸在複平面上旋轉起來。通過如此作法，可以拆解開某些複合波函數的隱秘性質；再譬如在物理上表示一些複雜變數之間的關係，如用題中給出的其他變數表示 [公式] 時，我們可以把 [公式] 軸其中一項或多項乘上其對應的表達式，就可以得到我們熟知的基礎圖像，從而觀察其性質。

言而總之，這類思想無論在何領域都是應用相當廣泛的巧妙手法。再回到這個問題本身，如何證明 [公式] 與 [公式] 關於角分線對稱？類比曾用「2x」來代替x軸的做法，我們也可以用「y」來代替x軸；再用「x」來代替y軸。經過這樣的處理就得到了 [公式] 和 [公式] 。解出這組方程，我們會驚喜地發現其解竟然剛好分別等於處理前的兩方程，從而證明「x、y交換後，兩方程組等價」。

然後再考察「x、y相互替代」這個做法。我們發現：對於兩軸本身來講，不也是「變換前後等價」的嗎？那麼聯想到該題目的「對稱」，自然而然地就會萌生一個念頭：兩坐標軸通過哪一條直線對稱，才能實現對稱前後等價呢？略加思索，喔，原來是 [公式] 這條線啊。至此講述完畢。

這就是對本回答的全部補充。其旨在講述為何一定要把圖像的變換和坐標軸的映射聯繫在一起，並適當推廣至更一般的情況。

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