可以是已解决问题，也可以是未解决问题，当然更可以是自己提出的问题。

问题构思一定要精巧，不求解答。

比如阿里巴巴数学竞赛的那个拉面拓扑问题。

举个比较简单的熟知的例子吧。

[公式] . 学过数分的都知道，标准做法是，平方一下，再用极坐标代换：[公式] 。

我觉得第一次接触这个积分就能独立想到这个方法的人，确实可以说是天才了。正常人的思维是，一元微积分简单，多元微积分难。难的东西应该往简单的方向化。但是有时候反其道而行之，你给他升一下维，问题反而迎刃而解了。所以究竟什么是难的数学，什么是简单的数学呢？是不是应该反思一下自己对数学的刻板印象？

说句题外话，国际象棋里面，马象杀王一直是个大难题，理论上是必胜的，但是实际操作过程中，即使是大师也可能失误而成和。我记得有些局面下，你明明把王逼到一路了，但你就是要故意把王放到二路三路，才能完成杀棋。这也算是有异曲同工之妙吧。

这一类积分叫做高斯积分，我不知道是不是高斯首先想到这个方法的。

另外，在概率里面，其实这也是个常用的技巧。比如要算E[X]，我可以取两个独立同分布的随机变数，X,Y，然后 [公式] ，对有些分布，这么算真的就更简单。

题主要求题目构思巧妙，非答案巧妙。我想到这个问题：

希尔维斯特铸币问题 / 『Sylver』 coinage game

这是一个博弈游戏，两个玩家轮流「发行」一种整数面额货币，要求后发行的货币金额不能用已发行货币的金额表示（即可以拿出这个金额的钱，而不需找零）出来，谁最终不得不发行面额为「1」的货币，则输掉游戏。比如如下过程：

  1. 第一个玩家发行面额为5的货币，则5, 10, 15, 20...等面额不能再发行。
  2. 第二个玩家发行面额4的货币，则 4, 5, 8, 9, 10和11以上的面额不能再发行。
  3. 第一个玩家发行11，则只有2，3，6，7面额可以发行。
  4. 第二个玩家发行6，则只有2，3，7可以发行。
  5. 第一个玩家发行7，则只有2，3，可以发行。
  6. 第二个玩家发行2，则只有3可以发行。
  7. 第一个玩家发行3。

此时第二个玩家只能发行面额为1的货币，所以输掉了游戏。

现在的问题是，这个游戏的双方最佳策略是啥？

这个游戏以19世纪英国数学家希尔维斯特（James Joseph Sylvester, 1814年9月3日－1897年3月15日）命名，因其第一个证明这个游戏可以在有限步骤内结束。

已知的一些结论：

第一个玩家发行质数面额的货币时，有必胜策略，但具体必胜策略未知。

如果第一个玩家还有其他必胜策略，则第一个发行的面额必须是 [公式] 类型的数。

John Conway （2020年4月去世）曾悬赏1000美元，问：

若第一个玩家出16，此后双方的最佳策略是啥？

此题我觉得构思巧妙在于，它成功的把一个数论中的表示理论问题包装为一个大家喜闻乐见的博弈论问题。十分容易理解，但内涵很深，实乃居家旅行消遣之佳品。值得推荐。

参见：

https://en.wikipedia.org/wiki/Sylver_coinage?

en.wikipedia.org

这个挺好玩的，我来分享几个有趣的数论概念或问题

问题1：有理数的加法群没有极大子群

怎么证明有理数加法群没有极大正规子群??

www.zhihu.com图标

群的极大子群对应环的极大理想，我们继续就有理域的性质来看极大理想的概念

定义：称环 [公式] 是离散赋值环，如果环 [公式] 是主理想整环，且只有唯一的非零素理想

有理数域有一个代数整数环，就是整数环 [公式] ，那么我们可以去构造一个有关整数环的离散赋值环

问题2：取集合 [公式] ，那么[公式] 是一个离散赋值环，并且那个唯一的非零素理想就是 [公式] ，且任何理想具有形式 [公式] .

这样就得到了一般的 [公式] ，然后得到 [公式] ，这样去思考我觉得比用逆极限得到p-adic数域要直观巧妙很多，推而广之就是有理域的有限扩张，利用其代数整数环的素理想，同样可以定义类似的离散赋值环和 [公式] 的有限扩张，就是后话了，偷懒一下，直接上我笔记的图片

现在到代数数论了，那么继续来在这里来看一个本来就巧妙还可以在更加巧妙的二次互反率的证明

二次互反率：设 [公式] 两个大于2的不同素数， [公式] 是勒让德符号，则有 [公式]

再次偷懒，图片来自田以超老师的讲义，有一处笔误，符号可翻看任意一本代数数论书籍都可以得到其定义。

要说真正的构思巧妙，我还是得提一下Galois的单群的证明

定理：交错群 [公式] ， [公式] ，是单群

参考代数学引论（聂灵沼，丁石孙，第二版）

代数学或数论的发展就是在巧妙构思中慢慢推进的。

费马小定理和费马大定理在n=4的情况，都是初等数论中的经典问题，两个证明都相当的精彩。

费马小定理： [公式] 是一个素数，整数 [公式] 不是 [公式] 的倍数，那么

[公式]

证明：注意到 [公式] 这 [公式] 个数对 [公式] 的余数各不相同，而每个余数肯定是 [公式] 之一，因此

[公式] , 即

[公式]

又 [公式] 和 [公式] 互素，所以[公式]

费马大定理在n=4的证明：证明更一般情况，不存在正整数组 [公式] 使得 [公式]

证明：使用反证法，假设存在这样的正整数组，找到其中第三个数最小的一组 [公式] ，下面证明一定能找到另外一组 [公式] 满足 [公式]

首先 [公式] 是互素的，否则若有共同的素因子 [公式] ，则 [公式] 于是[公式] 满足条件且 [公式] 根据对称性，设 [公式] 是偶数， [公式] 是奇数。根据勾股数组的性质可知，存在互素的整数 [公式] 使得

[公式]

又注意到 [公式] 是一组互素的勾股数组，且 [公式] 是奇数，所以 [公式] 是偶数， [公式] 是奇数。根据勾股数组的性质可知，存在互素的 [公式] 使得

[公式]

注意到 [公式] ，且[公式] 和 [公式] 互素，因此 [公式] 和 [公式] 都是平方数；

[公式] 且 [公式] 和 [公式] 互素，因此 [公式] 和 [公式] 都是平方数；

设 [公式] 于是 [公式] 。而 [公式] 所以正整数组 [公式] 满足条件且有更小的第三个数，矛盾。

每条地铁线通常在地图上都有其自己的颜色，为了避免在换乘站及线路图中产生混淆，新增一条地铁线，用什么颜色标识它比较好呢？

设计师会参考或应用色差公式规划地铁线路图[1]，使得相切的线路颜色对比尽量大一些。

数学原理是建立一个颜色空间，用欧几里得距离来定义它，两个颜色（用RGB举个例子来说明）的差异（或者距离）可以用下面这个公式来定义：

[公式]

国际照明委员会（CIE）据此构想制定和完善了一些工业标准，更多详尽的内容你可以参考提到的文献，或者搜索色差与地铁线路图了解更多。

参考

  1. ^https://arxiv.org/abs/1504.00140

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