徒手？

如果徒手的定義是不使用計算器和算盤。

我建議去買一本 數學用表。

比如，我要對A 開三次根號。

則去查 A 的對數 lg A = X

翻到對數表那一頁， 通過A， 查到A的對數X。

然後手算

A的三次根的對數是 lg (A^(1/3)) = X / 3 = a

A的四次方根的對數是 lg (A^(1/4)) = X / 4 = b

然後去查反對數表。

通過a, 可以查到 A的三次根的值 10^a = A^(1/3)

通過b, 可以查到 A的四次根的值 10^b = A^(1/4)

有了對數表和指數表，

你計算乘法和除法 轉化成 加減法。

乘方和開方 轉化成 乘除法。

什麼，你說徒手就是不能用數學用表。

那麼，親，我強烈建議你把對數表和反對數表背下來。畢竟你算乘法也是用口訣的嘛。

這樣，即使後續算100次根，也是小事一樁。

實際上在手動計算的時候我們希望盡量避免做除法，一是計算速度慢，二是比較煩。

通常可以目測一個比較整的近似解，然後將根式寫成分數冪級數，提取近似解到根號外，進行泰勒級數展開，近似解取的足夠好的話只保留一階就可以了。

豎式開方么？

四次簡單，連開兩次平方就行了。

三次如果是類似豎式開方的方法，也差不多，寫成三位一組，試根，然後除以(已有根的平方*300 + 已有根*試根*30 + 試根的平方)。如果不夠除的話，試根減1，再重複。

舉個例子：57512456，開三次方，寫成 57 512 456

4^3=64&>57，所以先試根3，高位減去27，剩餘30 512 456

然後用30512除以3^2*300，似乎可以試根9。3^2*300+3*9*30+9^2=3591, 30512/3591小於9，不夠除，所以試根9不對。再試根8，3^2*300+3*8*30+8^2=3484, 30512/3484=8，餘2640。

現在剩餘2640 456，已有的根是38，再重複，用2640456除以38^2*300得6，試根6，38^2*300+38*6*30+6^2=440076，用2640456除以440076，正好除盡。

所以57512456的三次方根是386。

初中時自己試出來的，雖然麻煩了點，但是用紙筆計算是完全可行的。

根據實踐經驗，最快的是「試根-內插-牛頓」三板斧：（1）試根。（2）實現跨射之後順手來一次線性內插。然後再用（3）牛頓高斯迭代。

例子：73開三次方

4^3=64偏小了一點，5^3=125偏大了很多。二者相比80%以上的偏差在125那頭，所以拿4.2試一下：4.2^3=74.088，和4.0形成跨射，再來一次性內插。

（74.088-73）/（73-64）=1.088/9～=0.12

4.2-（4.2-4）*0.12=4.176

再用高斯牛頓迭代：

修正量=（73-x^3）/（3x^2）=（73-72.825）/（52.3）=0.00334

4.176+0.00334=4.17934（真值4.1793391963...）

已經達到六位有效數字精度。再迭代一次計算量會超級大，預計將達到11-12位精度。

後記：其實在根據4和5的偏差之比決定取4.2的時候已經用到了線性內插的思想了，這時候可以考慮直接上高斯牛頓迭代也不錯：4.2+（73-4.2^3）/（3*4.2^2）= 4.1794，精度少了點，只有四位半，但計算量比六位精度的要少很多，性價比還不錯。

我就用純口算吧

Step1：

把1-10的立方和1-10的四次方背下來，工作量肯定遠小於背對數表。

為了便於食用，先把數據放這兒

三次方（1-25）:1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832 6859 8000 9261 10648 12167 13824 15625

四次方（1-13）：1 16 81 256 625 1296 2401 4096 6561 10000 14641 20736 28561

Step2：根據位數估計範圍

比如三次根號2020110，每三位劃分逗號：2,020,110，於是開根號出來應該是個三位數，根據上面的數據，可以知道它會在100-200之間，更精確的，在120-130之間

實際應該是126出頭，因為三次根號2等於1.2599（手機驗算126.41，精度還是不錯的）

四次的話類似，每四位來個逗號：202,0110

然後它應該是在30-40之間，更靠近40.

當然四次方也可以用開兩次根號來算。開根號用類似的方法做就可以（背過130以內整數對應的平方數的我表示毫無壓力），比如上面：開根號2020110大概是1420,1420再開根號大概37.7左右（手機驗算37.696）。

至於其它大佬提的迭代法，本質上也就是逐步逼近的過程，只不過平時估算真的用不著如此多的位數，假如要精確到6-7位，其實也可以通過算試根的相應立方數，四次方數來逐步逼近。

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