假設 [公式] 是有理數

設 [公式] （其中 [公式] ， [公式] 且 [公式] ）

從而 [公式] （*），下證 [公式] 為偶數

假設 [公式] 是奇數則 [公式] 是奇數得到 [公式] 是奇數，矛盾

故 [公式] 是偶數，設 [公式] ， [公式] 代入（*）式得

[公式] 同理可證 [公式] 為偶數

於是 [公式] ， [公式] 都為偶數，這與 [公式] 矛盾

假設不成立

故 [公式] 是無理數

其中 [公式] 的意思是 [公式] ， [公式] 互素

證明根號2是無理數方法二橘子老君的視頻 · 131 播放證明根號2是無理數方法一橘子老君的視頻 · 135 播放

這裡給出一個沙雕的證法，可以構建兩個相似的正方形來證明

不會用繪圖工具，手寫如下。

數學 選修2-2（人教B） p66

首先為了證明根號2是無理數 我們假定其反面 設根號2為有理數 我們設有一分數 p比q的平方＝2 （p比q為既約分數 即除1以外沒有公約數）p的平方比q的平方＝2 p的平方＝2q的平方 證到這我們可以看到 p的平方一定為偶數 偶數×偶數＝偶數 奇數×奇數＝奇數 p的平方為偶數 p也為偶數 設p＝2r p的平方＝4r平方 2q的平方＝4r平方 兩邊同時÷2 q的平方＝2r平方 證到這 我們可以看到 q也為偶數 pq同時為偶數 那麼p比q一定不為既約分數 我們的矛盾即證明我們的論斷 根號2為無理數 證完

更簡單的一種證法：

前面幾步一樣，得出2p^2=q^2

然後神奇的就來了：

把左邊和右邊分解質因數，由於p，q有個平方，所以裡面質因數2的個數為偶數，而2p方中質因數2的個數則為奇數，因此左右不等，矛盾，所以√2是無理數

無理數的義：屬正實數，不屬整數，不屬無窮分數，屬整體（有限體）。

所以可證明 根號 2 是無理數。地球人都會證。

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