以敝人期末82分的粗淺數學分析水平試答一下（用手機寫就懶得打公式了）

傳統數學分析教材習慣用公理化的方法定義實數域。具體來說，在代數上我們把域定義成裝備了兩種二元運算（加法和乘法）的一個集合，它滿足一定的公理；我們在域上引入一個全序結構，並且序關係跟二元運算還要滿足一定的公理，我們把這樣的域稱為序域。我們把實數域定義為滿足Dedekind完備性（上有界子集必有上確界）的序域。

但是傳統數學分析教材並沒有證明這個定義是良好的。具體來說，我們要證明滿足這樣條件的集合，是存在且唯一的。唯一性可以從公理直接證明，具體來說，兩個完備序域是同構的，他們之間存在一個雙射同時保持加法，乘法和序關係。而存在性的證明應該是構造性的，也即其他答主說的Dedekind分割。

通過構造性的方法定義實數，要求從最簡單的自然數集開始構造。自然數集的存在性源於Zermelo-Fraenkel集合論，其中的「無窮公理」把自然數集定義為最小的歸納集，並聲明其存在。我們從自然數集 [公式] 開始，沿著「自然數集 [公式] [公式] 整數環 [公式][公式] 有理數域 [公式][公式] 實數域 [公式] 」逐個構造。其中整數環定義為商集 [公式] ，~代表減法對應的等價關係；有理數域定義為商集 [公式] ，~代表除法對應的等價關係（這個構造在代數中被稱為分式域）。而實數域，根據Dedekind分割的構造，被定義為有理數域冪集 [公式] 的某個特殊子集。這樣我們就從自然數集的存在性導出了實數域的存在性。

柯西序列的等價類

有很多不同的表述方式，較為直觀的一種是

「實數是無窮小數」

幾點說明：

1.有理數包括有限小數(可看做末尾有0的無窮循環)和無窮循環小數；無理數就是無窮不循環小數。

2.這個定義體現了實數的連續性——具體就是：在有理數的基礎上必須加上無理數的必要性。而實數系連續性有六個等價命題：

①有界的單調數列一定收斂

②柯西準則：數列收斂等價於數列是基本列

③列緊性定理：任何有界數列一定有收斂子列

④閉區間套原理

⑤確界原理：有上界的數集有上確界，有下界的數集有下確界

⑥緊緻性定理：有限覆蓋定理

其中確界原理與戴德金分割直接相關，可以得出實數的另一個定義。

所以我…猜測是不是實數系連續性的每一個等價命題都與一個實數定義相關orz

以上是剛剛複習完數分第一章後的一點點小總結，有不足之處敬請指出

謝謝~

這個問題真不是幾句話說的清，look目錄：

一種定義方法為（定理），三大塊：

1.代數性

2.序性

3.連續性

ps：還有其他兩種定義方法，

能夠在數軸上表達的數都屬實數。

有序完備域中的元素稱為實數。

有理數序列關於極限運算的閉包
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