三邊為 10 的四邊形，如何使之面積最大？
假設一個雨水槽給與左右以及底部各 10 厘米的長度，然後上面的開口沒有列出長度。如何計算上面的長度，以讓雨水槽可以裝滿最多的水容量？
通過水槽鏡像變成六邊形，推廣到更一般的形式：已知一個N邊形，各條邊的邊長依次為 ，它的面積最大是多少，什麼時候取最大值？
解決這個問題最直接的辦法是列函數用拉格朗日乘子法求極值，不過也有個取巧的辦法，物理學上根據虛功原理，如果能構造一個物理系統使得它的能量的表達式和我們要求極值的函數是一致的，那麼能量取極值的時候，各個組件也剛好受力平衡，因而可以改用力學平衡來求解極值問題，它跟直接列出函數然後求導是等價的。
把N邊形的相鄰邊之間用鉸鏈連接起來（可以自由旋轉但必須保持連接，邊是剛性的不能彎曲和拉伸），往這個N邊形內部「充氣」，內部的「氣體」有固定的壓強p，則N邊形面積變化δS時，氣體做功為pδS，這樣整體能量可以認為是-pS，面積最大時能量最小，只需要對這個體系求靜力平衡就行。
首先看每條邊，它受到兩端鉸鏈和氣體壓強的作用，氣體壓力是 ，作用點為邊的中心，整體平衡是兩個條件：
- 三個力合力為0
- 三個力合力矩為0
不難得出，兩端鉸鏈的作用力沿垂直桿的方向的分量各自為 ，沿著桿方向的分量大小相等方向相反。設第k條邊沿著桿方向的分量為
，所有的下標我們規定
，下標為0的邊可以同時用0或者N表示，方便後面的公式書寫。
考慮每個鉸鏈，它受到兩個相鄰邊的作用力，這兩個力合力為0。設k和k+1兩條邊的夾角為 ，為了方便起見這裡規定
是相應的外角，即k的延長線與k+1的夾角，或者180°-相應內角，則可以得到方程：
改寫成矩陣
注意這個矩陣的逆矩陣是它本身，同時也有
可以運用複數進行換元，記 ，則有
設 ，則有
多邊形必須首尾相連，則外角和為一個周角，邊的向量和為0，兩個條件同樣用複數寫為
重新用 表示：
後一個即
不難發現 成立時，後一個等式恰好也成立，兩個條件化簡為一個條件。
因為有 ，如果我們作一個以R為半徑的圓，然後從圓上任意一點開始，依次以圓心為中心旋轉
、
、
……，最後恰好會回到原處（2β和為一個周角），而
對應的弦長正好就是
，同時相應的外角恰好也是
，於是我們就得到了一個驚人的結論：
固定邊長的多邊形面積最大時，當且僅當它是一個圓內接多邊形
很容易證明在邊的順序固定的情況下，所有固定邊長的圓內接多邊形都是全等的，因為它們的外接圓半徑一定相等——必須有 且
，而後一個等式左側的關於R的函數，在
時是單調遞減的，值域則包含
，因而有且只有一個符合條件的R。
問題中的條件比較特殊，所有邊長都相等，那麼邊長都相等的圓內接多邊形一定是個正多邊形。
前面的物理方法還可以解決一個等周問題的劣化版本——周長相等的圓內接N邊形中，最大的是正N邊形。只需要把鉸鏈變成類似滑輪的結構，將桿變成某種特殊的繩，允許它在滑輪的地方滑到另一側，但兩個滑輪之間必須拉直——這種物理模型不常見，但數學上沒有毛病。很容易通過受力平衡得到這時候所有的 必須都相等，那麼滑輪處的受力平衡決定了所有的
也必須都相等，前面的結論又說明它必須是一個圓內接多邊形，因而一定是一個正多邊形。
在四邊形 中，
。現在求四邊形
的面積
的最大值。
作 於
，
於
。
令 ，
，則有
且
。
由幾何關係可得，
，
，
，
。
梯形 的面積
，
的面積
，
的面積
。
通過割補可得
。
分別計算 對
和
的偏導數，可得
，
。
對於具有一階連續偏導數的函數 ，在某點取極值的必要條件是它在該點的梯度為
。於是可以列出方程組
，
只需要利用誘導公式（和差化積公式也可以）對其進行整理，就很容易發現它在 ，
上具有唯一解
，也很容易驗證
確實在該點取得極大值
。
因此我們最後得到
，當且僅當
時取等號。
設此時側邊與垂直方向的夾角為β，再旋轉一個小角度α。
截面積收益 10α*10
截面積損失 sin(β)*10α*(10+20*sin(β))
合計100α-100α*(sin(β)*(1+2*sin(β))
所以，當1=(sin(β)*(1+2*sin(β)時，截面積不增不減，為極值。
1=x(1+2x)
x=-1 ,1/2
當β=-90度時，側邊完全與底邊重合，此時面積為0
當β=+30度時，為正六邊形的一半，面積最大。
有了結果，反過來想，三條邊長10 ，還有一邊不確定，無論什麼情況下，我都做關於這第四邊的鏡像，形成一個廣義的六邊形。這個六邊形的每條邊都長10，只有在為正六邊形時面積最大，而原四邊形一定是六邊形的一半。所以底角為120度時，有最大面積。
假設線段AB不動，那麼線段BC在實線圓上運動，線段CD在對應的虛線圓上運動
對於每一個線段BC，對應的線段CD都必須與AC垂直才能使面積儘可能大
那麼設 ，那麼
令
當 時取最大值
此時 是等腰梯形
（原來面積表達式中的的10已經修改成100）
n-1 條邊固定的 n 邊形面積最大取在當自由邊是一個圓的直徑，其他頂點依次排列在一個半圓上的時候。
證明是很簡單的反證法，如果一個「其他」頂點不再半圓上，則可以調整角度讓它落在半圓上，此時多邊形面積會變得更大，從而和假設矛盾。
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