還有p≥0且p＜1時，不等式中間換成＜。

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不等式對 顯然成立，若 根據對稱性，不妨設 依Lagrange中值定理，存在 使得

即證。

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兩邊同除以左邊的式子，變為A^p+B^p&<=1

A+B=1 ，A^p&

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考慮x^p的凸性結合Jensen不等式可得。

另一方面，RHS/LHS＝x^p/(x+y)^p+y^p/(x+y)^p ①，注意到)x/(x+y)+y/(x+y)＝1及x^p的單調性，命題顯然

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這個不等式是範數不等式的特殊情況，一般來講，對非負實數 及實數 ，有不等式

成立。注意到對每一個 乘以非負實數 後不等式仍然成立，取 ，只需證對 有不等式

成立。由於 ，結合指數函數單調性可知

即原不等式得證。取 及 即得題目不等式。

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這應該是目前最簡單的方法了，只用到了高中知識，方便題主的理解

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考慮暴力

設

則

由

有

又

故

即證

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只要求第一個問號的話，可以使用牛頓廣義二項式定理

即證

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利用卡拉瑪特（karamate）不等式一步到位：

當 時，考慮凹函數 因為數組 ,所以有

，

即 .

當 因為數組 ,所以有

，

即 .

即證!

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鄙人不才，寫個標準的高考解法吧。

證明不等式 等價於證明

假設 , 則相當於證明 。注意這裡 。

求導則有 ，因為p大於1，所以這個式子恆大於0。所以可以得到

,注意這裡t=0取不到，所以式子成立。

同理，p小於1的時候，導數恆小於0，函數最大值為0，不等式成立。

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