如何求類似sqrt(x-1)+sqrt(x+26)+sqrt(14-x)這種三根號相加的值域?
的最大值,該題來自2019年西安交通大學入學數學測試,各位大神對這種題有沒有好的解法
如果是求最大值,那麼柯西不等式可以很好的解決,但是題主要求的是值域,這就十分複雜了
首先,容易得到定義域
設
令f(x)&>0
得
兩邊平方得
注意到,當 時, ,f(x)單調遞增
當 時,兩邊再平方得
因式分解即
設
x&>0時,g(x)單調遞增,由於g(0)&<0,所以在x&>0上有一零點
注意到 ,所以
又 ,故g(x)在 上大於0
所以當f(x)&>0時, ,當f(x)&<0時,
f(x)有唯一的極大值點,
所以最小值為
@愛吃魚的小豬 提供了一個更為簡單的做法
設
則
事實上不用求導,很容易發現g(x)是減函數,由於g(10)=0,f(x)在[1,10)遞增,(10,14]遞減,得到最大值最小值
求定義域的操作就不說了,令K = sqrt(x-1)+sqrt(x+26)+sqrt(14-x),
轉化為 K = sqrt(x+26) + 2 (1/2) sqrt(x-1) + 3 (1/3) sqrt(14-x),
利用Cauchy不等式得到K^2 &<= (x + 26 + 2(x-1) + 3(14-x))(1 + 2(1/4) + 3(1/9)) = 121,所以K最大取到11,接下去驗證下等號取到的條件就好了,x = 10。
至於為什麼變形為1/2和1/3,待定係數一波即可。
難道這個題目只能用初等數學的方法來解嗎?
這難道不可以直接求導嗎?
然後令導數為零不就可以求出極值點,再判定極值點是否在定義域範圍內就可以了呀。
不然再判斷增減性。這不是通法嗎?