如題，勿噴

無理數集與R等勢，不可數；

有理數集與N等勢，可數。

PS：wiki一下Cardinality有驚喜。

（擅用wiki，少提低質量問題

無理數更多

參考我這個回答：

無窮是否有大小或者極限？?

www.zhihu.com圖標

謝邀，先說結論，無理數更多，下面是證明。

先證明一個引理：有理數和正整數一樣多。

證明這個引理我們需要知道對於兩個無窮元素的集合，若能做到一一對應就說明兩個集合元素相同多。下面開始引理的證明：

有理數的定義是可以寫成兩個整數之比的數。那麼我們可以把所有有理數寫成最簡分數的形式(我們這裡只討論正數，負數同理，整數寫作n/1)，然後我們可以把分母和分子的和從大到小進行排序，和相同的規定分母小的在前，分母大的在後。

這樣所有正有理數就排成了一列，和正整數一一對應了起來。負數情況同理。然後我們再把n對應的正有理數放到2n+1的位置上，-n對應的負有理數對應到2n+2上，0對應1。 引理證畢。

回到原題，我們用反證法來證明這個問題。

如果他們能一一對應，那麼我們就能找到一種排列方式使得無理數和整數一一對應。我們考慮無理數的小數部分。

.47910779571957293850....................89401695971894689927....................38192749300109889999....................00000000000000000389.......................

(以上是我亂敲的，但是不妨礙證明)然後我們取一個無理數它的小數部分是這樣的：小數部分第1位不同於1對應的小數部分的第1位，小數部分第2位不同於2對應的小數部分的第2位...小數部分第n位不同於n對應的小數部分的第n位。

這樣我們發現，取出來的這個無理數和所有已經取出來無理數都不相同，這和假設矛盾，所以無理數和正整數不能一一對應，進而無理數和有理數不能一一對應。 證畢

無理數多。有理數可數，無理數不可數。

無理數更多

實際上這是個集合論問題，有理數集是一個可數集（與自然數集N等勢），無理數集是一個不可數集，無法與自然數集N建立一一對應的關係，它的勢比有理數集要大，可以說無理數比有理數多。

請學習集合論...無理數的勢比有理數大...

這題！不噴行嗎？這題讓我一噴，就大發了。這麼說吧，我就愛噴這種大題。

要說有理數和無理數哪個更多，首先要弄清楚什麼是數。什麼是數呢？好像誰都知道，其實誰也不知道。數學家就不知道，發明數的人也不知道。如果按照現在某些人給數下的那些定義，發明數的古人是根本就聽不懂的，他們如果按照這樣的定義去發明數的話，恐怕至今也完不成這個任務。什麼意思呢？我在這裡的意思是說，所謂數，根本就不是那些給數下定義的所說的樣子。

給數下定義有一個重要的標準，就是看看發明數古人能否聽得懂，依照這個原則，我嘗試著給數(自然數)下了一個明確的定義：自然數是人們為了方便地統計事物的規模、籌劃事物的大小，以及認識事物的變化規律而給這些事物在幾何上一一對應的單位正方形面積之間的虛擬界限按照某種邏輯規則所標識出的符號系統(詳見：之乎https://zhuanlan.zhihu.com/p/54428455)

有了這個定義，我們就可以把那些自然數理解為：是分布在一條寬度為1的「數帶」上，每兩個單位正方形之間的虛擬間隔的符號，如「1」、「2」、「3」等。在數帶的起始端同樣有這樣一個間隔，隔著負數一側的數帶，這個間隔的符號我們叫它「0」。

自然數就是這個樣子了。那麼分數呢，也就是說什麼是有理數呢？我們都知道自然數是有理數，但很少有人知道自然數也是分數，即分子為1的分數，這與有理教的定義並不矛盾。有理數包含了自然數，有理數不單單是數帶上那些正方形間隔的符號，也包含了除那些正方形間隔的符號以外，還包括」將這些正方形分割成更短的，甚至短到1/∞，但寬度依然為1的」矩形」間隔的符號。

緊挨著0右側第一和第二個這樣的矩形之間間隔的符號就是「1/∞」。

可見，1/∞是數。0到1之間有∞-1個這樣的數。因此，從0到1，有∞+1個有理數，進而，從0到∞有∞2+1個有理數。

我說的是不足太俗氣了？我面對的不是古人，古人只知道算術，現代人都懂微積分了，都會數學分析的人。我再說這麼詳細，有貶損別人智商的嫌疑。

於是我簡單說吧：怎麼說呢？有理數是給」為了無窮多地分割數帶所需」間隔所標識的符號(這類話的嚴密性應參考「自然數的定義」)，而每兩個間隔之間所隔出的是一根根長度為1/∞、寬度為1的「矩形」，此時，我們可以把這些距形視為」線段」，而這些線段有∞2條。無理數在這些線段上，這些線段門由無窮多個面積為(1/∞)2的小正方形構成。無理數就是這些小正方形之間間隔的符號。

至此，不知不覺中，我們已從算術中的數來到了數學中的數。這兩種數的差別，我會在方便的時候詳細說明。現在我要強調的是：古人不對數學中的數負責。我之所以強調這個，是由於接下來的論述古人有可能就聽不太懂了。那是我們事情。好了，繼續回到主題：

可見，無理數有(∞-1)∞2個。這裡的「∞-1」說起來比較雜，古人聽不懂，我們粗略地認為無理數有∞3個就可以了。

好了！所謂的「實數軸」(集)上，有理數和無理數哪個更多就看出來了吧？多多少是不是以也看出來了？

(如果我這麼掰開揉碎說還沒看懂，就去複習一下那個鏈接吧，那裡不是高等數學，也不是什麼集合論，更不是數學分析，是我給人們講的連古人都能聽得懂的故事)

這個問法不準確，無窮之間沒有具體數意義上的大小；若換成有理、無理數是否可以一一對應，則可回答，不能，在每一個給定的有理數配一個給定的無理數，則還必有無窮多的無理數不與任何有理數配對，這樣看來無理數多一些。

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