這是悖論嗎？

我覺得題主的意思是，根號二沒有盡頭，那直角邊為1的等腰直角三角形怎麼會封閉呢？

可是根號2雖然沒有盡頭，但這不代表你每發現新的一位，根號二的值就會變大一點。

根號二歸根到底是一個大小確定的數，它正好卡在兩個無限接近的數的中間。所謂的根號二的大小，就是把這無窮多位都考慮在一起的大小。

至於無窮多個數加在一起為什麼可以是一個確定的數？高等數學有一部分就是研究這個的，題主可以研究一下收斂級數的求和，這就是一個不能相信大腦的空想，只能相信筆和草稿紙的領域了。

謝邀。

1. 這是心理障礙，不是悖論-畢達哥拉斯

首先 [公式] 是無限不循環小數與[公式] 能通過直角三角形表示出來是兩個相互獨立的命題，兩者幾乎是沒有什麼關係的。

其次，你彆扭的地方是它是 [公式] 無限不循環下去，感覺很動態，與一個靜態的三角形斜邊似乎不相符。

你能這麼想，那你為啥不懷疑[公式] 這個表示本身呢？即， [公式] ,這個數的左邊是一個靜態的表示，右邊是一個動態的表示。

我們說的[公式] 能以長度1的等腰直角三角形的斜邊的形式表示出來，指的是邏輯層面的意思，不是操作層面的。

如果你糾結的是操作層面的意思，那任何一個無理數你都畫不出來，因為你的尺子的精度是有限的。

實際上，不止無理數，連絕大多數的有理數你也照樣畫不出來。

假設你尺子的精度是60位(這已經是逆天了)，即精確到小數點後60位，那我隨便寫一個有理數，你肯定也畫不出來，只要超過60位小數就好了。

比如 [公式] 。

所以這跟直角三角形應該沒什麼關係。

你的問題在於你可能就沒有從內心深處真正認同 [公式] ，你暫時接受，只是限於老師的權威脅迫之下。

事實上，在心理上對無理數有點接受不了是很正常的。

歷史上，大概公元前五世紀，畢達哥拉斯，勾股定理(西方叫畢達哥拉斯定理)的發現者，古希臘的哲學家，數學家被追隨者認為半神半人，因此被稱為「聖人畢達哥拉斯」。

Pythagoras-From Wikipedia, the free encyclopedia

他的一個門徒即學生，因為發現利用畢達哥拉斯定理得到的斜邊長度 [公式] 不等於任何一個目前有的數即有理數，而被其它門徒扔到愛琴海里餵魚了。

因為他們覺得這很不美，很噁心，嚴重違背了它們的信仰！

這其實就是一個確定的數啊，只是兩種不同的表達方式而已。

你的問題是，你沒有真正搞懂無理數的小數表示。

這不是什麼該羞愧的事情。因為絕大多數學生，其實都沒搞懂。

他們要麼不懂裝懂，要麼成了老師淫威之下的行屍走肉無法獨立思考。

可喜的是，你還有一點獨立思考的原力在覺醒。

2. 實數的小數表示

要完整回答無理數或者實數的小數表示，其實很困難。它實際上是數學系的大一課程。

詳見我關於類似問題的回答:

為什麼0.9的循環等於1??

www.zhihu.com圖標

3. 尺規作圖問題

雖然你對問題的表述顯得很生猛亂撞，但你實際上拋出了另外一個很有意思的問題。

尺規作圖

給你基本長度1，無刻度尺子(用於畫直線)，圓規(用於畫圓弧)，你能做出的線段長度，是哪些實數？即基本長度1，加上畫方畫圓，能畫出哪些長度的線段？

尺規作圖

這個問題就很高深了，這涉及到代數擴域的問題。

估計非數學系的同學一輩子也不會搞懂原因。

定理

尺規作圖能畫出的線段長度必含在有理數域 [公式] 的一個擴域[公式]內，且 [公式] 是通過有理數域[公式]作有限次(比如n次)的2次擴域得到的，故 [公式]反過來具有上述性質的擴域 [公式]內的任何複數，作為複平面內的點都能通過尺規作圖而畫出來。

很神奇吧！這個證明屬於很平凡的自然過程，學了域，擴域後你就會證。

為什麼是2次擴域，根本原因來自直線與圓的方程聯立求解，可歸結為一個有理係數的一元二次方程的求解。

2次擴域跟這裡的二次方程是同一個2.

於是，對任何一個有理數 [公式] , [公式] 都是可以尺規作圖達到的， [公式] 當然也不例外。

但是一個很簡單的數， [公式] ，即2的3次根，就無法尺規作圖達到了。

數學是不是很美妙？

數學審美建立在邏輯能力之上。

祝你學習進步！

多謝關注和點贊，支持原創高質量文章！

更多精彩數學詳見我的專欄--

那些年被數學虐的我們?

zhuanlan.zhihu.com圖標

你不如先考慮一下1/3有沒有盡頭。

原問題已經被修改了，有一些人在罵我，不如先看看原問題：

√2是個無理數,，沒有盡頭,，為什麼邊長為1的直角三角形可以畫出來?？這是一個是悖論嗎?？

你想說的是不是芝諾的烏龜

宏觀和微觀不一樣的

作為「畫」這一行為來說，小到一定程度就畫不出來了

就像烏龜領先一米，人可以追一米，烏龜領先一納米，你追個一納米我看看

烏龜自己都爬不出來這一納米

無理數雖然無限，但卻是一個確定的數，並不是無限大，你寫1.4，不代表他只有1.4，你又寫跟1.41，看起來好像多了0.01，實際上他跟1.4一樣，都是一個近似值，實際的根號2還是根號2，長度不因為你的精確度而改變，如果你要畫一條根號2那麼長的線，你也只能畫一個近似值，畢竟你的筆也畫不到太精確的程度

但是三角形就例外了

為什麼？

因為數學

讓一個三角形的兩條邊和夾角固定之後，第三條邊必然是一個固定的數

當然這也同樣存在於理論，實際上無論你用什麼宏觀的東西去畫，都存在著一個宏觀與微觀的界限（或者說，理論與現實的界限）導致無法完全達到根號2的精確值。所以所謂的邊長為1的直角三角形，畫當然很容易，但你要說畫出來的三角形斜邊長度是根號2，我覺得你是把理論和實際搞混了。實際上，你連精確的「邊長為1」都畫不出來

因為√2有上限。。。

推薦閱讀：
相关文章