高等數學中，i 這個虛數（i2＝-1）的存在意義在哪裡？有什麼應用場景？

為了刻畫旋轉的不變子空間吧？~

還一個就是解方程（主要說微分方程：二階常係數齊次微分方程）

對於旋轉來說：

考慮對平面點的變換 [公式]

平面的點記為列向量 [公式]

考慮該運算元特徵值，找到兩條過原點直線（可能重合、也可能退化），經過該運算元變化後依舊不變。

比如 [公式] 就是將 [公式] 這條線上的點，映射為它本身。

對於放縮、切變換，都是能找到這樣的實特徵值的。唯獨旋轉， [公式] 除了 [公式] ，然後以 [公式] 為周期的點以外，其他所有點所對應的特徵值，皆不存實數值。

畢竟，你對整個平面的點旋轉了一個小小的角度，過原點的所有直線都旋轉了一個小角度。實際上這個直線找不到。但是加入了複數，它便能整出來特徵值了——就是那條「虛直線」。

實際上這個變換跟複數 [公式] 是可以按照 [公式] 對應的，該對應將複數中的乘法對應到矩陣中的乘法。

其實，這個 [公式] 也是複平面上的旋轉。

對於求微分方程通解 [公式]

可以考慮有個叫做微分的變換，將 [公式] 變成 [公式] ，於是記作 [公式]

實在理解不了就把他當作某個線性空間的矩陣，該線性空間是 [公式] 維度，其中第 [公式] 個坐標對應著 [公式] 的值。。。

然後，考慮上面的特徵值、特徵根，我們為了求得 [公式] ，可以找他的特徵根，於是就有形式 [公式]

那怎麼找呢？回到剛才的方程中，用運算元重寫一遍方程 [公式]

對於 [公式] ，只有 [公式] 才能讓上面方程成立，然後回到二次方程了。。。

為了能找到對應的跟，，複數就引入了，就如有的其他的回答那樣~

虛數用處很多，比如已知平面坐標系中的兩個單位矢量的坐標，求它們的角度（指與x軸所成角度）相加後的單位矢量的坐標。從幾何出發求解不容易吧？虛數一個乘法搞定。

另舉一列：在實數範圍內分解因式 [公式] ，結果是 [公式] ，怎麼得到的？因為 [公式] 啊，然後 [公式] 或 [公式] （共四個根），分解出四個一次因式再選擇共軛的兩個兩兩相乘，就得到實數範圍內的因式分解。注意最終的結果並沒有出現虛數 [公式] ，但不用虛數你試試？

為了讓所有多項式都有根，為了宇宙的大和諧，i必需存在.

複數，以及i的最基本特性就是旋轉。

在複平面上，i就是虛軸上的單位向量。

i2=-1，i自乘一個i，就變成-1，它變成了實軸的負單位向量。從i到-1，向量逆時針旋轉了90°。以此類推，-1到-i，-i到1。都是逆時針旋轉了90°。

引入歐拉公式

Ke^(iθ)=K(cosθ+isinθ)，很顯然，e^(iθ)就是一個任意方向的單位複數向量。

而且這個向量有個神奇的特性。就是它的旋轉可以通過乘以另一個單位複數向量得到。

Ke^(iθ)e^(iα)=Ke^i(θ+α)，逆時針旋轉了α，但是不改變模長。

如果是實空間的向量，要讓它旋轉，需要左乘一個矩陣。複平面的旋轉比實空間更簡單了。

有了旋轉，那旋轉在軸上的投影是什麼？

沒錯，就是振動。

歐拉公式

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