sin(x*sin(1/x))/(x*sin(1/x))在x趨向於0的極限存在嗎？
感覺按照定義的話極限不存在（函數在0鄰域里頻繁無定義），按照海涅定理判斷似乎可以存在
看你怎麼定義極限唄，通常要求在x0的某個鄰域內恆有定義只是為了方便而已。
像這樣定義你就當然可以說極限存在。
(PS：卓里奇這樣定義並不是為了裝X，而是因為他想往濾子極限的方向引)
有兩種極限的定義：
一、一元極限的定義：如f(x)在x=0的某空心鄰域內有定義，……………。則所求極限不存在(因為不滿足定義)。
二、二元極限（注意一元函數也可看成二元函數）的定義：如f(x,y)滿足，(0,0)是其定義域的一個聚點，……………。則所求極限=1（利用口→0時，sin口~口）。
結論，極限不存在。由於海涅定理討論的是定義域里的抽樣，既然總體已經不滿足此性質，抽樣自然就不滿足了。
下面是分析和證明：以下定義、定理都來自陳紀修版《數學分析》的敘述，截圖來自第一版的電子版，經比較與第三版無差異，涉及的內容無無修訂、增補。設
如圖示，我們需要找到一個去心鄰域 ，即在此去心鄰域內函數有定義。
由此可知 時
的極限不存在。
但是不斷放大後
卻得到了這樣的效果。看上去，它圖像里的函數值不斷「靠近」0，但是卻不滿足 定義下的先決條件。此例一定程度上也反應了我們直覺上和形式上認識無窮小和開區間的困難。
這個是我做的，你可以參考一下
x=1/nπ（n屬於N+）時分母均為0，不存在極限.
但我覺得可以補充定義，並不是很要緊.
我覺得考慮它到底存不存在太low了，既然它有這個明顯的趨勢，明顯擴充一下通常而言的定義才是最佳的選擇.
lim(x→0) sin(x*sin(1/x))/x*sin(1/x)=x*sin(1/x)/xsin(1/x)=1如果用等價無窮小代換是這樣的，但這題並不能使用等價無窮小代換sin(x*sin(1/x))。sin(xsin(1/x))/(xsin(1/x))在x趨向於0時極限不存在，分母中sin(1/x)在x→0時，可能會取到0，就在x取1/n* 的時候，函數在0附近有多個點無意義，所以函數的極限不存在。由於sin(1/x)能取到0，因此不能使用等價無窮小代換。用軟體作出的函數圖像如下：
先看一下什麼是海涅定理：
右邊也有一個條件，與左邊的「所有」這個條件一樣強，那就是「任意」二字。所以兩邊是等價條件。在應用中，海涅定理常常會用來證明f(X)在a點的極限不等於b，方法就是找兩列趨於a的點列，讓他們極限不相等即可，下面給出證明
lim(x→0)sin(x*sin(1/x))/x*sin(1/x)=1
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