抽象代數中有沒有一些有意思的例子？
總是整數環有理數域矩陣環之類的好無聊啊。有沒有一些別的例子，比如說微分方程的解之類的？Artin的書上有一個這樣的。置換群Galois群各種同構同態群都不算。橢圓曲線的群結構這樣的太專業的就免了，講給新手聽，又怕太枯燥沒意思。
第一學期學抽象代數的時候也有和題主類似的問題：定義定理之類覺得學明白了，但是感受不到其中美麗和背後的motivation。
後來接觸了一些代數數論之後就不這麼覺得了。舉兩個簡單的例子：
1：費馬小定理，初等數論里的證明比較組合味（用到Wilsons Theorem），放到群論里則顯得十分trivial。
2：Pells Equation: 求方程 的整數解。
下面以 為例。
容易看出（3，2）是一組解。記為
現在假如我們有一組解 ，那麼考慮遞推關係
,
則
故
所以所有的奇數項 都是這個方程的解。
這裡很容易我們得到了無窮組正整數解，但是仍然不清楚這到底是不是全部的解。
現在考慮任意兩個不同的解 ,
這裡
所以 也是一組解. （代數運算封閉）
，對每組解
，都有逆
.
結合律與單位元是顯然的。
故這個方程的解對應的 構成一個群。
實際上，這個群下所有的正數項構成一個由 的冪組成的cyclic group。
Proof: 構成一個關於
的群
其中， 是最小的正數
理由：1. 均為正的情況必然最小
2. 時其必為某個x,y均為正數的逆，所以對應
3. 的解對應每一個
的解，所以對應的
記 ，現在假設存在一個element不是
的倍數，
即存在 ，有
那麼 。
由群的代數封閉性質， 也是該群中的元素且大於0小於
,這與
為最小正數矛盾。
故不存在這樣的元素
Q.E.D.
Reference: John Stillwell, Elements of Number Theory
抽象代數有意思的就是各種同態同構之類與結構性密切相關的東西啊，你這都不能算豈不是有點買櫝還珠的意味？
反正我覺得同態同構，多項式環導出虛數，由有限生成模導出阿貝爾群結構定理，希爾伯特90定理 ，自由群加關係的群構造法都相當有意思，已經是再實際不過的東西了。 特別是同構 同態 阿貝尓群結構 在學代數拓撲的時候一直在用。
我說一些最近看到東西吧，一個環的單位群如果是奇數階，那麼這個群一定是Abel群，並且階數是一些2的冪減1的乘積。比如最簡單的推論是不存在一個環存在五個單位。
另一個結論是一個除環，如果中心是特徵為p＞0的域，那麼這個除環的任意有限群都是循環群。
有限群G的一個二維不可約表示，一定存在g屬於G,使得x(g)等於0，這是丘賽上一道很巧妙的題。
第一個結論要用到群代數的一些結果，第二個要用到有限除環一定是域。
答主抽象代數學的不多，大四才開，32學時 。群環域什麼的只講了最基本的，伽羅瓦理論什麼的都沒學，沒有接觸到什麼比較有意思的例子（可能是題做的少的原因吧）聽說artin的那本書講的例子很多，繼續讀可能會發現更有意思的例子。
SO(3)的有限群。
除了循環群與二面體群，同構意義下就只有A4,S4,A5。
闡明了正對面體的結構。和A4,S4,A5的三維不可約正交表示有關。
雖然很平凡，但也不是很無趣。
推薦這兩套名著。數學系第一流的學生都應當讀原版名著！
1 《Algebra》《 代數學》（共兩卷） - 范德瓦爾登 (B.L.Van der waerden)☆
2 《Basic Algebra》 《基礎代數學》（共兩卷） - 雅各布森 (N.Jacobson)☆
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