是否存在球面上的平行線？
是否存在球面上的平行線？
我認為是存在的，因為球面上的大圓小圓都是球面上的直線（注）。所以球面上的緯線與緯線是平行線。所以，在球面上，若兩直線平行，且被第三條直線所截，則同位角相等！所以，在球面上，三點決定一條直線。所以，平面幾何中的平行線只是球面幾何中的平行線的特例！對不對？
註：設φ為經度，θ為緯度，對於任意一條緯線，當φ有增量時，θ並沒有增量。所以，在二維球面上，緯線並沒有彎曲。所以緯線的曲率等於零。所以在二維球面上緯線是直線。由於任意緯線都是小圓，所以，在二維球面上任何小圓也都是直線。
是否存在球面上的平行線？
題主所給的關於「直線」的定義是錯的。接下來我要說明這個定義錯在哪。
設φ為經度，θ為緯度，對於任意一條緯線，當φ有增量時，θ並沒有增量。所以，在二維球面上，緯線並沒有彎曲。所以緯線的曲率等於零。所以在二維球面上緯線是直線。由於任意緯線都是小圓，所以，在二維球面上任何小圓也都是直線。
這是題主給出的直線的定義。現在，我們先暫時不討論球面，而是討論大家都很熟悉的平面，看看題主的邏輯在平面上會出現什麼問題。
我們考慮平面的極坐標。按題主的邏輯，設 為輻角，
為模長，對於任意一個以原點為圓心的圓，當
有增量時，
並沒有增量。所以，在平面上，以原點為圓心的圓並沒有彎曲。所以圓的曲率等於零。
這顯然與我們的認知不符，因為在平面上，圓顯然不是直線。
那麼問題出在哪裡了呢？我們提取出題主的中心思想，就會發現，題主對於直線的認知是這樣的：
題主對於直線的認知：設 是一張曲面，
是這個曲面的一個參數化（例如，在球面上可以取
為經度，
為緯度），那麼
和
都是廣義直線。
然而這個定義的根本性問題就在於，它不是一個內蘊性質。換句話說，它隨著坐標系的改變而改變，而且這個改變與坐標系的變換不相容。
嚴格解釋每個概念，需要題主學過一點拓撲、微積分以及微分幾何，我這裡就不說了。我這裡就說兩點：
曲率計算公式
只對平面直角坐標系成立。對於一般曲面上的一條曲線，其曲率需要通過曲率張量計算。
一條曲率為零的曲線，不管在什麼坐標系下，其曲率都應該是零。
題主如果真感興趣，推薦陳省身的《微分幾何講義》。看完了以後你就會明白什麼叫「內蘊」，也會明白為什麼你的那個定義不行了。
假設你買回家了一個非常非常圓的西瓜，要把瓜把的部分切下來擦刀。之後你拿起切下的那部分圓去觀察，你切的緯線上的兩點，距離最短的話，是要走你切的那條刀痕嘛？還是說，他們之間最短的距離，實際上是他們各自和瓜心（球心）連線所構成的那個平面與球面相交的路徑呢？
很明顯，走緯線不是最短距離，而走經線才是。兩點之間線段最短，而線段兩端無限延長成一條直線（第二公設），所以經線才是直線，而緯線是球面上的曲線。平時，北京飛紐約的飛機先往北飛，後往南飛，看似是飛了個弧線，實際上那個航線才是最短的直線，而緯線相連接的北京和紐約是弧線。
所以黎曼幾何修改了歐幾里得幾何的第五公設，在球面上過一點無法做一條與已知直線相平行的直線。能做的只是相平行的弧線。沒有了平行線定理，自然也不會有什麼同位角相等等等來證明平行了。
不論球面還是平面，兩條拿出來比較的線必須是直線。通俗的講直線可以有兩種解釋，一個是距離最短，另一個是曲率為零。以球面為例，所有直線是以球心為圓心的圓，其他的線（比如你說的緯線）曲率不為零，他們既不是距離最短，曲率也不為零。他們就類似於平面上的拋物線。既然討論幾何問題就要遵循幾何的規則，是不是直線不是你說的算的，是規則說的算。就好比，我在平面上畫了一個不經過X軸的拋物線，非說著拋物線是直線，和X軸不相交，他倆是平行關係。這連抬杠都算不上，純粹是找事。
思而不學則殆
你說小圓是直線，有什麼依據嗎？微分幾何里有一套理論來描述的，讀讀書比自己閉門造車好多了。
不存在，球面不存在平行線
你先定義下的曲面上的平行是什麼再說吧。
小圓不是球面上的直線，小圓是曲線
直線是方向不變的動點的軌跡，所以在球面上小圓也是直線。
可以這樣論證：
設φ為經度，θ為緯度，對於緯線，當φ有增量時，θ總沒有增量。所以，在二維球面上，緯線沒有發生彎曲，緯線的曲率等於零。所以在二維球面上緯線是直線。由於緯線是小圓，所以在二維球面上任何小圓都是直線。
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