如何求圓周上隨機 n 點構成的 n 邊凸包的平均面積？
圓為單位圓，隨機分布可以看作均勻分布。
從圓心向 點連線，將凸包分為
個三角形，它們的面積和就是凸包的面積。易知，若凸包某邊所對圓心角為
，則單位圓上對應的圓心三角形面積為
。（注意此處
時也成立，因為此時對應的三角形的面積確實應該是從其他三角形的面積和中減去才得到凸包面積的。）注意到對於隨機的
點，任意一個
的分布由對稱性都應該是一樣的。因此如果能求出任意一個
的分布，就能求出對應的
，從而凸包的面積期望
也就可以求了。
顯然， 的分布等同於把長為
的線段任意切成
段後第一段的長度的概率分布，也就等同於
個在
上的均勻隨機變數的最小值的分布。考慮
個這樣的隨機變數的最小值的累積分布函數
則對應的概率密度函數也就是
。
因此，
後面的多項式乘正弦的積分用慣用的分部積分伎倆即可得出遞推式：
故
以 、
遞推即可。
關於非遞推表達式，我問了問Wolfram|Alpha 的值，對面告訴我計算超時，所以我就放棄了。
此外做一個簡單的sanity check： 時應有
，代入上述遞推式就得到一個不定式，嗯……嘛至少不矛盾。
看來之前的問法不太對。我又重新問了問Wolfram|Alpha，這次是問了不定積分 的值；Wolfram|Alpha告訴我（省略常數C）
其中 是不完全伽馬函數。此式再代入之前的結果中，藉助一些從Wolfram MathWorld查到的資料，可得
其中 為指數和函數（exponential sum function）。
為了確定算沒算錯，試幾個小數：
沒有問題。
也沒問題。雖然數學容不得抽樣調查，但看到這些結果還是讓我放心了一些的。等我睡醒再思考怎麼繼續化簡。
睡著之前再來點。
接下來多半又要逃不掉分奇偶性了： 為奇數時，令
，
為偶數時，令
，
嗯，到這裡至少 的情況還是滿足的，大概問題不大吧。不知道這樣算不算一個通項。
上兩式可以合為一式：
做個數學歸納法。 為奇數時，
沒有問題。
為偶數時，
同樣沒有問題。加上前面的初始值驗證，這個答案就以
告一段落吧，我已經足夠滿意了。
應該是
即
初值有 ，
通項不太像是能求出來的樣子
謝邀，這個問題還是比較簡單的。
問題相當於求 的期望，其中
在單形
上均勻分布。
由於對稱性，我們只需要求 的期望即可。注意到當
固定時，
到
的約束條件為
。易知
的期望等於
，
所以問題的答案等於 。
值的計算可以通過分部積分獲得一個遞推公式。這裡略去過程直接說結果：
定義數列 ，
，
，
的值就是問題的答案。
對於三角形的情形，。
我發現 AOPS 上已經有這個題了:
Average Area of N Points?artofproblemsolving.com但是也沒通項公式...所以我們來暴力一波.
初值條件
這玩意兒也不是無窮求和, 也不知怎麼寫成超幾何函數.
- 若 n 為偶數
- 若 n 為奇數
@羅旻傑, 求問 以及
兩式應該如何化簡
我只知道
更新一下。之前我的式子數值總比模擬小，似乎少算了一些情況。昨天我在某雪山上溜達的時候忽然意識到生成多邊形那塊少了一點考慮。我的思考很直觀，沒前面那些高贊的數學大佬那麼牛逼抽象。思路也有所不同。
我把我的答案改正一下，別騙贊害己了。
摘要
平均面積為
該通項與前面幾個答主的結果等價（分別考慮 的奇偶）。 @醬紫君 @謎之槍兵X
謝邀。
對於這個問題，我們先考慮如何生成凸 邊形。
我們用歐氏空間，單位圓上的點可由角 表示。按均勻分布撒
個點
，我們總可以得到一個關於點（角）的順序，也就是
。這裡的
是生成
後再按從小到大的順序排列後得到的。這樣，只需將相鄰的點
和
用線段連起來（
與
連接），就可以得到（圓內接）凸多邊形了。換個理解方式，我們可以這樣生成隨機多邊形：
考慮圓對稱性，我們隨便選一個點 作為角度
點，也即
。剩下
個點因為是隨機生成的且相互獨立，它們的聯合概率密度為
再考慮按從小到大順序，一共會得到
種可能。故聯合概率密度
這個等同於 組成了一個的邊長為
的
維正方體中，體積為
。選取空間（子集）使得
中的分量按照指定順序排列。這些空間剛好把正方體平分成
個部分。很直觀的理解吧？
接下來求平均面積。
顯然，面積 是
的函數(前面已經固定
)，
。我們可以在多邊形中將
分別與除去相鄰的點
和
外的其它點用線段連起來，也就是分別與
相連，這樣就把
邊形劃為
個三角形。那麼多邊形面積就等於這些三角形之和，
其中
是一個三角形。而三角形面積 可以由歐氏距離公式算出三邊長度再套面積公式求出(注意
)
多邊形面積的均值為
這裡需注意每個 的積分限
，(
)，並作變數代換
，
也就是其它答主說的「圓心角」。
最終的通項沒用什麼技巧和變態函數，是從上面的積分一步步迭代求出來的，我的結果是（其實是神一般存在的同事得到的）
該通項與前面幾個答主等價（分別考慮 的奇偶）。
解題思路在其它答案中已經給的非常完整了，我來補個用超幾何函數表達的通項公式
我們從遞推公式 開始，這一公式在 @謎之槍兵X @靈劍 @切我 的答案中都有推導，這裡就不贅述了
對遞推公式變形可得
因此對於偶數 ，有
注意到
而 ，所以
因此 ，注意到這是餘弦函數的泰勒展開中的前若干項，從而有
第一項即 ，而第二項可以用廣義超幾何函數
表示（注意通常說的超幾何函數是指特殊情形
）：
由
可得
於是
類似的，對奇數的情況進行化簡可以發現最後的這個表達式對奇數也同樣成立
最後，由
還可知 的漸進行為：
寫了個非常值得吐槽的模擬
f[i_] := Block[{}, angle = RandomReal[{0, 2 Pi}, 3];
Return[Area@Triangle[{Cos[#], Sin[#]} /@ angle]]
]
test[n_] := Mean[f /@ Range[n]]
test[10000] /@ Range[5]
{0.476666, 0.472731, 0.477776, 0.477324, 0.484954}
匿了
用 Mathematica 求了下這個遞推的通項
(9 I I^n E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]) [Pi]^2)/((1+n) (2+n) (3+n))-(3 I I^n E^(-(1/2) I n [Pi]) [Pi]^2)/((1+n) (2+n) (3+n))+(9 I (-1)^n I^(2 n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) [Pi]^2)/((1+n) (2+n) (3+n))+(9 I I^n E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]) n [Pi]^2)/((1+n) (2+n) (3+n))-(I I^n E^(-(1/2) I n [Pi]) n [Pi]^2)/((1+n) (2+n) (3+n))+(9 I (-1)^n I^(2 n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) n [Pi]^2)/((1+n) (2+n) (3+n))+(2 I I^n E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]) n^2 [Pi]^2)/((1+n) (2+n) (3+n))+(2 I (-1)^n I^(2 n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) n^2 [Pi]^2)/((1+n) (2+n) (3+n))-(2 I^n E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]) [Pi]^3)/((1+n) (2+n) (3+n))+(2 (-1)^n I^(2 n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) [Pi]^3)/((1+n) (2+n) (3+n))-(2 I^n E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]) n [Pi]^3)/((1+n) (2+n) (3+n))+(2 (-1)^n I^(2 n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) n [Pi]^3)/((1+n) (2+n) (3+n))-(4 I I^n E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]) [Pi]^4)/((1+n) (2+n) (3+n))-(4 I (-1)^n I^(2 n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) [Pi]^4)/((1+n) (2+n) (3+n))-(I I^n 2^(-1-n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) n^3 (-(1/[Pi]))^n Gamma[n])/(3+n)+(E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) n^3 (I/(2 [Pi]))^(1+n) Gamma[n])/(2+n)+(2^(-1-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) n^3 (I/[Pi])^n Gamma[n])/(3+n)+2^(-3-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) n^3 (I/[Pi])^(1+n) Gamma[n]+(2^(-3-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) n^4 (I/[Pi])^(1+n) Gamma[n])/(2+n)+(-1)^(1+n) I^n 2^(-3-n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) n^3 [Pi]^(-1-n) Gamma[n]-(I^n 2^(-3-n) n^3 [Pi]^(-1-n) Gamma[n])/(2+n)+((-1)^(1+n) I^n 2^(-3-n) E^(-2 I (-1-n) [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) n^4 [Pi]^(-1-n) Gamma[n])/(2+n)+(I^n 2^(-3-n) n^3 [Pi]^(-1-n) Gamma[n])/(3+n)-(13 I I^n 2^(-3-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) n^3 [Pi]^(-1-n) Gamma[n])/(3+n)+(13 (-1)^n I^n 2^(-3-n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) n^3 [Pi]^(-1-n) Gamma[n])/(3+n)-(I I^n 2^(-2-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) n^4 [Pi]^(-1-n) Gamma[n])/(3+n)+((-1)^n I^n 2^(-2-n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) n^4 [Pi]^(-1-n) Gamma[n])/(3+n)+((-1)^(1+n) I^n E^(-2 I (-1-n) [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) n^3 (2 [Pi])^(-1-n) Gamma[n])/(2+n)+I^(1+n) 2^(-2-n) E^(4 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) (-(1/[Pi]))^n Gamma[1+n]+I^(1+n) 2^(-1-n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) n (-(1/[Pi]))^n Gamma[1+n]-(9 I I^n 2^(-2-n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) (-(1/[Pi]))^n Gamma[1+n])/(3+n)-(9 I I^n 2^(-2-n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) n (-(1/[Pi]))^n Gamma[1+n])/(3+n)+I^(1+n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) (-(1/(2 [Pi])))^n Gamma[1+n]-I I^n E^(4 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) (-(1/(2 [Pi])))^n Gamma[1+n]+E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) (I/(2 [Pi]))^(1+n) Gamma[1+n]-2^(-1-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) (I/[Pi])^n Gamma[1+n]-2^(-2-n) E^(-(1/2) I (-1-n) [Pi]-(I n [Pi])/2) (I/[Pi])^n Gamma[1+n]-2^(-1-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) n (I/[Pi])^n Gamma[1+n]+(3 I 2^(-2-n) (I/[Pi])^n Gamma[1+n])/(3+n)+(9 2^(-2-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) (I/[Pi])^n Gamma[1+n])/(3+n)+(9 2^(-2-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) n (I/[Pi])^n Gamma[1+n])/(3+n)+2^(-3-n) E^(-(1/2) I (-1-n) [Pi]-(I n [Pi])/2) (I/[Pi])^(1+n) Gamma[1+n]+(2^(-2-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) (I/[Pi])^(1+n) Gamma[1+n])/(2+n)-I I^n 2^(-3-n) E^(-(1/2) I (-1-n) [Pi]-(I n [Pi])/2) [Pi]^(-1-n) Gamma[1+n]-3 (-1)^n I^n 2^(-2-n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) [Pi]^(-1-n) Gamma[1+n]+5 I I^n 2^(-3-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) n [Pi]^(-1-n) Gamma[1+n]-5 (-1)^n I^n 2^(-3-n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) n [Pi]^(-1-n) Gamma[1+n]-(I^n 2^(-2-n) [Pi]^(-1-n) Gamma[1+n])/(2+n)+((-1)^(1+n) I^n 2^(-2-n) E^(-2 I (-1-n) [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) [Pi]^(-1-n) Gamma[1+n])/(2+n)-(3 I^n 2^(-3-n) n [Pi]^(-1-n) Gamma[1+n])/(2+n)+(5 I I^n 2^(-3-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) n [Pi]^(-1-n) Gamma[1+n])/(2+n)-(5 (-1)^n I^n 2^(-3-n) E^(-2 I (-1-n) [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) n [Pi]^(-1-n) Gamma[1+n])/(2+n)+(3 I^n 2^(-2-n) [Pi]^(-1-n) Gamma[1+n])/(3+n)-(9 I I^n 2^(-2-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) [Pi]^(-1-n) Gamma[1+n])/(3+n)+(9 (-1)^n I^n 2^(-2-n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) [Pi]^(-1-n) Gamma[1+n])/(3+n)+(5 I^n 2^(-3-n) n [Pi]^(-1-n) Gamma[1+n])/(3+n)-(27 I I^n 2^(-3-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) n [Pi]^(-1-n) Gamma[1+n])/(3+n)+(27 (-1)^n I^n 2^(-3-n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) n [Pi]^(-1-n) Gamma[1+n])/(3+n)-I I^n 2^(-1-n) E^(-(1/2) I (-1-n) [Pi]-(I n [Pi])/2) [Pi]^(1-n) Gamma[1+n]+I^(1+n) 2^(-1-n) E^(-(1/2) I (-1-n) [Pi]-(I n [Pi])/2) [Pi]^(1-n) Gamma[1+n]+(-1)^n I^n 2^(-1-n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) [Pi]^(1-n) Gamma[1+n]+(-1)^(1+n) (I/2)^n E^(4 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) [Pi]^(1-n) Gamma[1+n]+(-(1/2))^n I^n E^(4 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) [Pi]^(1-n) Gamma[1+n]+(-1)^n I^n 2^(-1-n) E^(4 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) [Pi]^(1-n) Gamma[1+n]+I (-(1/2))^n I^n E^(4 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) [Pi]^(2-n) Gamma[1+n]+(-1)^(1+n) (I/2)^n E^(4 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) [Pi]^(3-n) Gamma[1+n]+(-(1/2))^n I^n E^(4 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) [Pi]^(3-n) Gamma[1+n]+(I^(1+n) 2^(-2-n) n [Pi]^-n Gamma[1+n])/(3+n)+(I/(2 [Pi]))^n C[1] Gamma[1+n]+I^n (-(1/(2 [Pi])))^n C[2] Gamma[1+n]+(I^(1+n) E^(4 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) (-(1/(2 [Pi])))^n Gamma[1+n])/(2+Floor[n])+((-1)^(1+n) I^n 2^(-2-n) [Pi]^(-1-n) Gamma[1+n])/(2+Floor[n])-(I (-1)^n I^n 2^(1-n) E^(4 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) [Pi]^(2-n) Gamma[1+n])/(2+Floor[n])+((-1)^(1+n) I^n E^(4 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) (2 [Pi])^(1-n) Gamma[1+n])/(2+Floor[n])+(I^(1+n) 2^(-1-n) E^(4 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) (-(1/[Pi]))^n Floor[n] Gamma[1+n])/(2+Floor[n])-(3 (-1)^n I^n 2^(-3-n) [Pi]^(-1-n) Floor[n] Gamma[1+n])/(2+Floor[n])+((-1)^(1+n) (I/2)^n E^(4 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) [Pi]^(1-n) Floor[n] Gamma[1+n])/(2+Floor[n])-(I (-(1/2))^n I^n E^(4 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) [Pi]^(2-n) Floor[n] Gamma[1+n])/(2+Floor[n])+((-1)^(1+n) I^n 2^(-3-n) [Pi]^(-1-n) Floor[n]^2 Gamma[1+n])/(2+Floor[n])-(3 I I^n 2^(-2-n) (-(1/[Pi]))^n Gamma[1+n])/(3+Floor[n])+(3 (-1)^n I^n 2^(-2-n) [Pi]^(-1-n) Gamma[1+n])/(3+Floor[n])-(I I^n 2^(-2-n) (-(1/[Pi]))^n Floor[n] Gamma[1+n])/(3+Floor[n])+(5 (-1)^n I^n 2^(-3-n) [Pi]^(-1-n) Floor[n] Gamma[1+n])/(3+Floor[n])+((-1)^n I^n 2^(-3-n) [Pi]^(-1-n) Floor[n]^2 Gamma[1+n])/(3+Floor[n])+((-1)^n I^(1+n+Floor[n]) 2^(-n+Floor[n]) n [Pi]^(2-n+Floor[n]) Floor[n] Gamma[n])/Gamma[4+Floor[n]]+(3 I (-1)^n I^(n+Floor[n]) 2^(-n+Floor[n]) [Pi]^(2-n+Floor[n]) Gamma[1+n])/Gamma[4+Floor[n]]+(I^n 2^(-2-n) [Pi]^(-1-n) Gamma[2+n,-2 I [Pi]])/((1+n) (2+n))-(I I^n 2^(-2-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) [Pi]^(-1-n) Gamma[2+n,-2 I [Pi]])/((1+n) (2+n))+(3 I^n 2^(-3-n) n [Pi]^(-1-n) Gamma[2+n,-2 I [Pi]])/((1+n) (2+n))-(5 I I^n 2^(-3-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) n [Pi]^(-1-n) Gamma[2+n,-2 I [Pi]])/((1+n) (2+n))+(I^n 2^(-3-n) n^2 [Pi]^(-1-n) Gamma[2+n,-2 I [Pi]])/((1+n) (2+n))-(I I^n 2^(-3-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) n^3 [Pi]^(-1-n) Gamma[2+n,-2 I [Pi]])/((1+n) (2+n))-(I I^n E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) n^2 (2 [Pi])^(-1-n) Gamma[2+n,-2 I [Pi]])/((1+n) (2+n))+((-1)^n I^n 2^(-2-n) E^(-2 I (-1-n) [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) [Pi]^(-1-n) Gamma[2+n,2 I [Pi]])/((1+n) (2+n))+(5 (-1)^n I^n 2^(-3-n) E^(-2 I (-1-n) [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) n [Pi]^(-1-n) Gamma[2+n,2 I [Pi]])/((1+n) (2+n))+((-1)^n I^n 2^(-3-n) E^(-2 I (-1-n) [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) n^3 [Pi]^(-1-n) Gamma[2+n,2 I [Pi]])/((1+n) (2+n))+((-1)^n I^n E^(-2 I (-1-n) [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) n^2 (2 [Pi])^(-1-n) Gamma[2+n,2 I [Pi]])/((1+n) (2+n))-(3 I 2^(-2-n) (I/[Pi])^n Gamma[3+n,-2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))-(9 2^(-2-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) (I/[Pi])^n Gamma[3+n,-2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))-(I 2^(-2-n) n (I/[Pi])^n Gamma[3+n,-2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))-(9 2^(-2-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) n (I/[Pi])^n Gamma[3+n,-2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))-(2^(-1-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) n^2 (I/[Pi])^n Gamma[3+n,-2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))+(2^(-2-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) n^3 (I/[Pi])^(1+n) Gamma[3+n,-2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))-(3 I^n 2^(-2-n) [Pi]^(-1-n) Gamma[3+n,-2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))+(9 I I^n 2^(-2-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) [Pi]^(-1-n) Gamma[3+n,-2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))-(5 I^n 2^(-3-n) n [Pi]^(-1-n) Gamma[3+n,-2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))+(27 I I^n 2^(-3-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) n [Pi]^(-1-n) Gamma[3+n,-2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))-(I^n 2^(-3-n) n^2 [Pi]^(-1-n) Gamma[3+n,-2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))+(13 I I^n 2^(-3-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) n^2 [Pi]^(-1-n) Gamma[3+n,-2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))+(9 I I^n 2^(-2-n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) (-(1/[Pi]))^n Gamma[3+n,2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))+(9 I I^n 2^(-2-n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) n (-(1/[Pi]))^n Gamma[3+n,2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))+(I^(1+n) 2^(-1-n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) n^2 (-(1/[Pi]))^n Gamma[3+n,2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))-(9 (-1)^n I^n 2^(-2-n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) [Pi]^(-1-n) Gamma[3+n,2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))-(27 (-1)^n I^n 2^(-3-n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) n [Pi]^(-1-n) Gamma[3+n,2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))-(13 (-1)^n I^n 2^(-3-n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) n^2 [Pi]^(-1-n) Gamma[3+n,2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))+((-1)^(1+n) I^n 2^(-2-n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) n^3 [Pi]^(-1-n) Gamma[3+n,2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))+(E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) (I/(2 [Pi]))^n Gamma[4+n,-2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))+(2^(-1-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) n (I/[Pi])^n Gamma[4+n,-2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))-(3 I I^n 2^(-2-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) [Pi]^(-1-n) Gamma[4+n,-2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))-(5 I I^n 2^(-3-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) n [Pi]^(-1-n) Gamma[4+n,-2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))-(I I^n 2^(-3-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) n^2 [Pi]^(-1-n) Gamma[4+n,-2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))+(I^(1+n) 2^(-1-n) E^(-(1/2) I (-2+n) [Pi]+1/2 I (-1+n) [Pi]) [Pi]^(1-n) Gamma[4+n,-2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))-(I I^n 2^(-1-n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) n (-(1/[Pi]))^n Gamma[4+n,2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))-(I I^n E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) (-(1/(2 [Pi])))^n Gamma[4+n,2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))+(3 (-1)^n I^n 2^(-2-n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) [Pi]^(-1-n) Gamma[4+n,2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))+(5 (-1)^n I^n 2^(-3-n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) n [Pi]^(-1-n) Gamma[4+n,2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))+((-1)^n I^n 2^(-3-n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) n^2 [Pi]^(-1-n) Gamma[4+n,2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))+((-1)^(1+n) I^n 2^(-1-n) E^(2 I n [Pi]-2 I (1+2 n) [Pi]) [Pi]^(1-n) Gamma[4+n,2 I [Pi]])/((1+n) (2+n) (3+n))+((-1)^n I^n 2^(-2-n) [Pi]^(-1-n) Gamma[1+n] Gamma[2+Floor[n],2 I [Pi]])/Gamma[3+Floor[n]]+(3 (-1)^n I^n 2^(-3-n) [Pi]^(-1-n) Floor[n] Gamma[1+n] Gamma[2+Floor[n],2 I [Pi]])/Gamma[3+Floor[n]]+((-1)^n I^n 2^(-3-n) [Pi]^(-1-n) Floor[n]^2 Gamma[1+n] Gamma[2+Floor[n],2 I [Pi]])/Gamma[3+Floor[n]]+(3 I I^n 2^(-2-n) (-(1/[Pi]))^n Gamma[1+n] Gamma[3+Floor[n],2 I [Pi]])/Gamma[4+Floor[n]]-(3 (-1)^n I^n 2^(-2-n) [Pi]^(-1-n) Gamma[1+n] Gamma[3+Floor[n],2 I [Pi]])/Gamma[4+Floor[n]]+(I^(1+n) 2^(-2-n) (-(1/[Pi]))^n Floor[n] Gamma[1+n] Gamma[3+Floor[n],2 I [Pi]])/Gamma[4+Floor[n]]-(5 (-1)^n I^n 2^(-3-n) [Pi]^(-1-n) Floor[n] Gamma[1+n] Gamma[3+Floor[n],2 I [Pi]])/Gamma[4+Floor[n]]+((-1)^(1+n) I^n 2^(-3-n) [Pi]^(-1-n) Floor[n]^2 Gamma[1+n] Gamma[3+Floor[n],2 I [Pi]])/Gamma[4+Floor[n]]]
答案有點長
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