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「無窮」、「極限」本身就會帶來和有限不同的性質。當我們把無理數的值寫出來的時候，本身已經是以10^n進行整係數展開了。例如

Pi = 3×1 + 1×0.1 + 4×0.01 + 1×0.001 ...

再嚴格證明的話需要從完備性方面考慮

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有意思的問題，這個問題也在高中困擾了我許久哈哈。

我來補充一下其它答主的答案吧（大霧？），所謂無窮個有理數的和，實際上就是一個各項都是有理數的數項級數嘛，而我們把它的前k項和記作s_k，這個所謂的和就是數列s_k的極限了。

然而我們知道有理數集是不完備的（即有理數集中Cauchy列的極限不封閉，也就是不一定還屬於有理數集），那麼自然就不行啦。

如果你想了解的詳細一點的話可以看《陶哲軒實分析》（前面不難的，就是從皮亞諾算術公里來定義正整數，進而定義整數，有理數，最後定義實數，蠻有意思的，對應的網課有b站上陳闖的實變函數）。

既然你都提到了，那我就再提一提為啥要定義實數吧。（emmm不一定正確，屬於個人理解）

不知道你有沒有注意到，極限的概念是「有問題的」（在大部分高數書中），因為能取極限的一個很重要的條件就是能夠無限趨近，什麼意思，如果說一個函數f（x）在x趨向於x_0時趨向於a，那麼很重要的一點就是讓x真的可以無限趨向於x0，所以我們就必須讓任意兩個實數之間仍存在實數。

為什麼呢？

你想啊，如果在上面的某個x1與x0之間沒有實數了，那麼x最多也就是趨近到x1了，根本不可能「無限趨近」。

一般數分書上對此的證明是任意兩個實數的算數平均數（在這兩個數之間）仍是實數，當然這就證明了我們所需要的。

但是這裡有個問題，為啥兩個實數的算數平均數就是實數？

你可能感覺我在說廢話，但是確實就是這樣，憑啥他就是實數呢？

產生這個問題很重要的一個原因就是我們沒有定義實數，也就是我們連實數是什麼都不知道，又如何就說一個東西就是實數？

嗯嗯，這也算是Cantor嚴格化實數理論的一個motivation吧。（大霧）

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有理數域Q關於一般的歐式度量是不完備的。所以不是所有有理數列都會收斂到 Q本身內。

而實數域R可以看作 Q的關於歐式度量的完備化，從Cauchy列的角度來看，實數域相當於是「所有由有理數組成的Cauchy列的等價類放在一起構成的集合「。

直觀地說，這句話的意思就是，把所有「在更大範圍內收斂「的有理數列的極限點都放在一起，組成一個集合，就是實數集。

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因為有理數集不是完備集

例如∑1/k！＝e

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乍一看咱似乎可以證明無窮個有理數的和只能是有理數，證明過程很基礎，就是運用歸納法。也拿 作例子，將之寫作 ，先說明第一項 3 是有理數，再利用任意兩個有理數加和依舊是有理數這個事實，可以一路遞推到「無窮」。相信題主也是用了歸納法或者相似的推理才產生了這樣的疑問。

那毛病出在哪裡，歸納法不靠譜嗎？歸納法的有效性是打包在皮亞諾公理體系（共五條）之中的，而我們所熟知的各類數學基本上都是默認了該公理的，所以歸納法錯不了，也錯不得，錯的是如何使用「無窮」這個概念。

歸納法公理是說一旦某命題可以被歸納證明，則該命題對全體自然數成立。很可惜，一般而言自然數集並不囊括 。儘管「對任意自然數」這個謂詞隱隱約約地蘊涵了某種樸素的「無窮」概念，但是在嚴格邏輯的限制下，歸納法處理不了「無窮」，所以也說明不了「無窮」個有理數的加和到底是個什麼數。

更進一步，我們是否真可以說 —— 無窮個XX數的和是XX？

口語化表達當然沒有問題，但心裡一定要似明鏡一般瞭然這句話的局限性。我們看到形如 這種加和的時候，想必不會產生任何形式的歧義，畢竟加和符號上頭的數字再瘋狂終究還是個自然數，有限的，老老實實一個一個累加就好了。可回頭再看 呢？ 不是自然數啊，若要嚴格起來， 這種寫法可是未定義的！所以說，咱千萬要記得這其實是 的一個「語法糖」，它本身並不意味著無數個數的加和，而是另有取極限那麼個邏輯跳躍， 還是一個自然數，只不過加和之外還有個極限符號 —— 這是兩步操作。對於 這個例子，更精確的表達應該是有理數數列 的累加極限為 ，或者簡單一點講，其級數為 。級數作為一個定義中包含了極限的專門術語，就不太容易引起思維或者語言上的歧義了。

於是乎，咱就可以舒舒服服地說：有理數加有理數依舊是有理數，至於無理數，那是由極限操作引入的。大家還是要感謝各位在數學嚴格化道路上作出貢獻的大賢，不然隨心一用的「無窮」概念將導出無窮的矛盾。

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