各種特殊函數多項式都可以用同一個概念解釋，就是在某個測度空間中，由冪函數施密特正交化得到的 [公式] 空間的一組基。

考慮測度空間 [公式] ，其中 [公式] ， [公式] ，從而我們可以找到一個權函數 [公式] 使得 [公式] ， [公式] ，這個時候我們考慮希爾伯特空間 [公式] ，如果 [公式] 性質足夠好，使得 [公式] 對任意 [公式] 都可積，那麼[公式] 構成希爾伯特空間的一組非正交歸一的基，但我們可以將它們施密特正交化，就得到一系列正交多項式（可以有些係數差別，即正交不一定歸一）了。

取 [公式] 得到勒讓德多項式；

取 [公式] 得到厄密多項式；

取 [公式] 得到超幾何多項式。

Legendre多項式一方面可以聯繫起超幾何函數等特殊函數，另一方面作為一類經典的正交多項式展現著它的獨特魅力。此外，閉區間內分段光滑的L_2可積函數依舊可以擁有Fourier-Legendre級數展開。

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求坐標分離變數得到的角向方程的解和勒讓德多項式有關

為了得到方程的解的性質，我們就要研究勒讓德多項式

Laplace方程[公式] 在求坐標下寫成 [公式]

分離變數 [公式]

得到三個方程：

[公式]

第一個方程展開就是歐拉方程，解為 [公式]

第二個方程高數裡面就解過，解為 [公式]

要是知道第三個方程的解我們就大功告成了，第三個方程令 [公式] 可以化為

[公式] (連帶Legendre 方程)

[公式] 時方程為 [公式] （Legendre 方程）

解就是 [公式] ,原來那個方程的解就是 [公式] .

Legendre 多項式的意義就是為了研究 Laplace方程的解

數值分析中

  1. 在最小二乘擬合/函數最佳平方逼近中，法方程組階數較高時可能出現病態。如果採用正交多項式作為基函數，則法方程組化為對角方程組，就會消除病態。勒讓德多項式就是一種正交多項式。
  2. 高斯型求積公式需要求解勒讓德多項式的零點

多讀書不單能明白很多道理，也能知道更多別人精彩的生活，即使時而借鑒一下別人的精彩也不會完全無趣而單一。

多多旅行。詩和遠方充滿浪漫主義色彩，多出去走走見見外面的世界，人生會多出很多故事也能多出很多色彩與回憶。

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