所謂黎曼函數，就是在無理點處等於零，在有理點處等於分母的倒數的函數。在數學分析的教材上通常都會把黎曼函數黎曼可積且積分為零作為一個重要的例子。

我想借這個問題說說，恆等於零的函數、黎曼函數和狄利克雷函數的區別，定義域都取

恆等於零的函數自然不必多介紹，不論怎麼看它都處處是零，相應地，積分當然也是零。

剩下兩個函數里，狄利克雷函數相對好理解一點

在實分析中，我們說這個函數幾乎處處都是零。直觀地說，意思就是在 上隨機取一個數，它是有理數的概率是零。按照勒貝格積分，它的積分就是零。

但是為什麼這個函數黎曼不可積呢？是因為雖然有理數相對於實數幾乎不存在，但是它依然稠密於實數，嚴格地說就是任何實數都是一個有理數列的極限。這導致了任意小的區間上都不能不遭遇有理數，即有這個函數取零和取 的點，進而振幅是 黎曼積分就無法處理了。

接下來我們觀察黎曼函數

首先，它也幾乎處處都是零，從而勒貝格積分是零。

然而它和剛才的函數有一個本質的區別。在 上隨機取一個有理數，狄利克雷函數在此處必然是 但是黎曼函數不僅不是這樣，對於任意正數，黎曼函數大於它的點至多有限。有理數相對於實數太少，但是相對於有限，還是相當多的。

用黎曼積分的方法處理黎曼函數。當分劃充分細時，振幅大於某一正數的小區間相對於所有區間，長度一定充分小。從而黎曼函數黎曼可積，且積分是零。

哪怕是狄利克雷函數，有無窮多個點等於 都不妨礙它幾乎處處等於零，使它的勒貝格積分和恆等於零的函數一樣是零。黎曼函數可是更進一步，即便是從不為零的點裡去找，依然幾乎不可能找到比較大的。

求積分不會管那些幾乎不存在的點。勒貝格積分認為測度為零就幾乎不存在，黎曼積分要求更高，必須稀疏才算是幾乎不存在。不過你給充分多的點充分小也起不到作用。黎曼函數的這種性質，怎麼能說它看起來足夠不等於零呢？

我希望通過對求積分的這種觀察，你更能理解數學當中的數量關係到底是怎樣的。你可以說無窮小不是零，但幾乎是零。甚至那些勒貝格可積的函數，是不是幾乎都黎曼不可積？

數學上的線是沒有寬度的，數學上的點是沒有厚度的，可是現實生活中的線和點都是有的。而你看的圖像都是基於後者的，所以其圖像壓根不是數學上其真實的樣子。如果按照數學的要求來，直角坐標系壓根的肉眼看不看的，因為它是兩個沒有厚度的直線構成。

數學中有太多反直覺的東西，在邏輯與直覺矛盾的場合，理性要求我們服從邏輯。

這裡我再舉一個分形上的例子，即著名的謝爾賓斯基三角形（Sierpinski Triangle): 將一個正三角形反覆不斷地挖去其中點三角形，剩下的面積為零，這個結論用中學所學的無窮等比數列極限知識就可以簡單證得，但是直覺上你會認為圖形上總還存在著那麼一點點零零星星的面積：