1.行列式的定義和性質

我猜你看到標題就知道這次我們要講行列式了，但是不要著急，我們先別急著看什麼是行列式，首先看這樣一個問題，我們之前也說了，線性代數主要是研究下面的問題的解。 $egin{equation*} left{ egin{aligned} &b_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+cdots+a_{1n}x_n\ &b_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2+cdots+a_{2n}x_n\ &vdotsqquadqquadvdotsqquadqquadvdotsqquadqquadvdots\ &b_n=a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+cdots+a_{nn}x_n\ end{aligned} ight. end{equation*}$

不要著急，我們看看比較小的情況。

時，的解在時是 $x=frac{b}{a}$ 。

時， $egin{equation*} left{ egin{aligned} ax+by=f\ cx+dy=g end{aligned} ight. end{equation*}$ 的解在是 $egin{equation*} left{ egin{aligned} x=frac{fd-gb}{ad-bc}\ y=frac{ga-fc}{ad-bc} end{aligned} ight. end{equation*}$ 。

聰明的你是不是發現了什麼東西啊？對，總有一個東西要不等於0，真的討厭啊，比較小時還好處理，稍微大點就頭皮發麻了。這種時候你們就得慶幸自己是站在巨人的肩膀上啊，聰明的前人早就搞清楚了這個問題了。

首先把這個問題簡化一下

$egin{equation*} left{ egin{aligned} &b_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+cdots+a_{1n}x_n\ &b_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2+cdots+a_{2n}x_n\ &vdotsqquadqquadvdotsqquadqquadvdotsqquadqquadvdots\ &b_n=a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+cdots+a_{nn}x_n\ end{aligned} ight. end{equation*}$

我們記成，其中

$egin{equation*} A=left[ egin{aligned} & a_{11}quad a_{12}quad cdots quad a_{1n}\ & a_{21}quad a_{22}quad cdotsquad a_{2n}\ &vdotsqquadvdotsqquadvdotsqquadvdots\ &a_{n1}quad a_{n2}quad cdotsquad a_{nn}\ end{aligned} ight] end{equation*}$

這裡出現了我們一個之前見過的東西，是個啥？又是個啥？莫急，我們慢慢來，是一個行列的方陣，一共有個點，每個點都是一個常數。是什麼常數相信大家也發現了，第行第列是 $a_{ij}$ 。那麼又是什麼呢？我先把它寫開

$egin{equation*} Ax=left[ egin{aligned} & a_{11}quad a_{12}quad cdots quad a_{1n}\ & a_{21}quad a_{22}quad cdotsquad a_{2n}\ &vdotsqquadvdotsqquadvdotsqquadvdots\ &a_{n1}quad a_{n2}quad cdotsquad a_{nn}\ end{aligned} ight] left[ egin{aligned} x_1\ x_2\ vdots\ x_n\ end{aligned} ight] end{equation*}$

對比原問題，相信你不難看出我的是這麼定義的

$egin{equation*} left[ egin{aligned} & a_{11}quad a_{12}quad cdots quad a_{1n}\ & a_{21}quad a_{22}quad cdotsquad a_{2n}\ &vdotsqquadvdotsqquadvdotsqquadvdots\ &a_{n1}quad a_{n2}quad cdotsquad a_{nn}\ end{aligned} ight] left[ egin{aligned} x_1\ x_2\ vdots\ x_n\ end{aligned} ight]= left[ egin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+cdots+a_{1n}x_n\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+cdots+a_{2n}x_n\ vdots\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+cdots+a_{nn}x_n\ end{aligned} ight] end{equation*}$

就是把的每一行與相乘，形成一個新的向量。

鋪墊完了，我們看乾貨吧！接下來我們就來定義方陣的行列式吧！我們就把行列式定義成之前提到的分母（不要關心正負啦），我們用來記行列式。

時， $A=[a_{11}]$ , $det(A)=a_{11}$ 。

時， $A=left[ egin{aligned} a_{11}quad a_{12}\ a_{21}quad a_{22} end{aligned} ight]$ , $det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

怎麼定義比較大的情況的行列式呢？如果你不嫌麻煩算了一下的情況 $det left[ egin{aligned} a_{11}quad a_{12}quad a_{13}\ a_{21}quad a_{22}quad a_{23}\ a_{31}quad a_{32}quad a_{33}\ end{aligned} ight] =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$

這個時候算是摸到一點門道了，首先是選三個數乘起來，這三個數不同行不同列，把所有的可能組合起來，不過還有個問題就是前面的係數有正有負，那麼怎麼判斷前面的符號呢？

為了解決這個問題，我們來定義一個新概念——逆序數吧！

什麼叫逆序數呢？我們這麼來，首先任給的一個排列，就是說中的每個數在恰好出現一次。我們稱排列的逆序數是逆序的個數，逆序就是指這樣兩個數滿足，理解起來有點拗口。。。拗腦，我們還是舉個例子吧！給出一個的排列，這個排列有哪些逆序呢？有五個逆序，所以逆序數是5。這樣大致能理解逆序數了吧。我們給逆序數一個記號，即。

那麼接下來我們就定義行列式了，已有方陣 $egin{equation*} A=left[ egin{aligned} & a_{11}quad a_{12}quad cdots quad a_{1n}\ & a_{21}quad a_{22}quad cdotsquad a_{2n}\ &vdotsqquadvdotsqquadvdotsqquadvdots\ &a_{n1}quad a_{n2}quad cdotsquad a_{nn}\ end{aligned} ight] end{equation*}$ ，對於任意一個排列，對應這樣一個項 $(-1)^{ au(i_1i_2cdots i_n)}a_{1i_1}a_{2i_2}cdots a_{ni_n}$ 。我們知道一共有個排列，那麼一共有個這樣的項，我們把這些項全都加起來就得到方陣的行列式啦！

$det（A）=sumlimits_{i_1i_2cdots i_n是排列}(-1)^{ au(i_1i_2cdots i_n)}a_{1i_1}a_{2i_2}cdots a_{ni_n}$

終於我們定義完行列式了，裡面係數有正有負，我們把它們分個類吧，

稱是 奇排列，如果是奇數，此時 $(-1)^{ au(i_1i_2cdots i_n)}$ 是奇數。

稱是 偶排列，如果是偶數，此時 $(-1)^{ au(i_1i_2cdots i_n)}$ 是偶數。

關於排序，我們有下面的性質。

取行列式中的一項 $a_{1i_1}a_{2i_2}cdots a_{ni_n}$ ，調換乘積順序得到 $a_{j_1k_1}a_{j_2k_2}cdots a_{j_nk_n}$ ，那麼對這三個排列，我們有

$（-1）^{ au(i_1i_2cdots i_n)}=(-1)^{ au(j_1j_2cdots j_n)+ au(k_1k_2cdots k_n)}$

證明：只需證明和有相同的奇偶性。

我們知道對調排列的相鄰兩項，改變該排列的奇偶性。改變 $a_{j_1k_1}a_{j_2k_2}cdots a_{j_nk_n}$ 中的

相鄰兩項的順序時，同時對調了和的相鄰兩項，所以

的奇偶性不變。又因為 $a_{1i_1}a_{2i_2}cdots a_{ni_n}$ 能經過

$a_{j_1k_1}a_{j_2k_2}cdots a_{j_nk_n}$ 有限次交換相鄰兩項得到，所以和

的奇偶性相同。

該性質的一個直接推論就是，若恰好為。那麼我們有

。

$sumlimits_{i_1i_2cdots i_n是排列}(-1)^{ au(i_1i_2cdots i_n)}a_{1i_1}a_{2i_2}cdots a_{ni_n}= sumlimits_{j_1j_2cdots j_n是排列}(-1)^{ au(j_1j_2cdots j_n)}a_{j_11}a_{j_22}cdots a_{j_nn}$

好了，定義完行列式了，那麼怎麼計算它呢，總不能按照定義那樣一個一個算吧，那不得累死啊！這個時候又是不得不再次感謝我們的前人了，對於行列式的計算也有一個系統成熟的簡單方法。在介紹這個方法之前，我們先看看行列式有什麼性質再說。

(1) 行列互換，行列式的值不變

（2）把方陣的某一行或者某一列乘上一個常數k，則方陣的行列式變為之前的k倍。

（3）把方陣的某兩行或者某兩列互換位置，方陣的行列式變為之前的相反數。

（4）方陣如果有某兩行或者兩列成比例，那麼方陣的行列式為0

（5）把方陣某一行或者某一列拆成兩個向量之和，那麼原來的行列式等於拆成的兩個行列式

之和

（6）把方陣某一行或某一列的倍數加到另外一行或者另外一列上面去，方陣行列式不變。

證明：

(1) $detleft[ egin{aligned} & a_{11}quad a_{12}quad cdots quad a_{1n}\ & a_{21}quad a_{22}quad cdotsquad a_{2n}\ &vdotsqquadvdotsqquadvdotsqquadvdots\ &a_{n1}quad a_{n2}quad cdotsquad a_{nn}\ end{aligned} ight] =detleft[ egin{aligned} & a_{11}quad a_{21}quad cdots quad a_{n1}\ & a_{12}quad a_{22}quad cdotsquad a_{n2}\ &vdotsqquadvdotsqquadvdotsqquadvdots\ &a_{1n}quad a_{2n}quad cdotsquad a_{nn}\ end{aligned} ight]$ 。

由之前排列的性質的推論和行列式定義立得。這說明方陣的行與列是對稱的，對行成立

的性質對列也成立。下面只看列的性質。

（2） $detleft[ egin{aligned} & a_{11}quadcdots ka_{1i}quad cdots quad a_{1n}\ & a_{21}quadcdots ka_{2i}quad cdotsquad a_{2n}\ &vdotsqquadvdotsqquadvdotsqquadvdots\ &a_{n1}quadcdots ka_{ni}quad cdotsquad a_{nn}\ end{aligned} ight] =kdetleft[ egin{aligned} & a_{11}quad a_{21}quad cdots quad a_{n1}\ & a_{12}quad a_{22}quad cdotsquad a_{n2}\ &vdotsqquadvdotsqquadvdotsqquadvdots\ &a_{1n}quad a_{2n}quad cdotsquad a_{nn}\ end{aligned} ight]$

由行列式定義立得。

（3） $detleft[ egin{aligned} & a_{11}quad cdots a_{1i}quad cdots a_{1j}cdots quad a_{1n}\ & a_{21}quadcdots a_{2i}quad cdots a_{2j}quadcdots a_{2n}\ &vdotsqquadvdotsqquadvdotsqquadvdotsqquadvdotsqquadvdots\ &a_{n1}quad cdots a_{ni}quad cdots a_{nj}quadcdots a_{nn}\ end{aligned} ight] =-detleft[ egin{aligned} & a_{11}quad cdots a_{1j}quad cdots a_{1i}cdots quad a_{1n}\ & a_{21}quadcdots a_{2j}quad cdots a_{2i}quadcdots a_{2n}\ &vdotsqquadvdotsqquadvdotsqquadvdotsqquadvdotsqquadvdots\ &a_{n1}quad cdots a_{nj}quad cdots a_{ni}quadcdots a_{nn}\ end{aligned} ight]$

只需要注意到一個排列中任意兩個數互換位置，排列的奇偶性改變就可以了。

（4）為（2）和（3）的推論，由（2）可知我們只需看有兩行相同時的情況，當我們把這兩

行換過來方陣不變，行列式不變，但是由性質（3），行列式變為其相反數，所以行列式

必定為0。

（5） $detleft[ egin{aligned} & a_{11}quad cdots a_{1i}+a_{1i}quadcdots a_{1n}\ & a_{21}quadcdots a_{2i}+a_{2i}quadcdots a_{2n}\ &vdotsqquadvdotsqquadvdotsqquadvdots\ &a_{n1}quad cdots a_{ni}+a_{ni}quadcdots a_{nn}\ end{aligned} ight] =detleft[ egin{aligned} & a_{11}quad cdots a_{1i}cdots quad a_{1n}\ & a_{21}quadcdots a_{2i}quadcdots a_{2n}\ &vdotsqquadvdotsqquadvdotsqquadvdots\ &a_{n1}quad cdots a_{ni}quadcdots a_{nn}\ end{aligned} ight] +detleft[ egin{aligned} & a_{11}quad cdots a『_{1i}cdots quad a_{1n}\ & a_{21}quadcdots a_{2i}』quadcdots a_{2n}\ &vdotsqquadvdotsqquadvdotsqquadvdots\ &a_{n1}quad cdots a』_{ni}quadcdots a_{nn}\ end{aligned} ight]$