極限類題之利用定積分定義

利用導數定義能求極限，利用定積分定義也能求. 定積分的定義是：

所以當我們遇到上式右邊的極限形式時，可以考慮轉化成定積分的計算. 這個形式有什麼特點呢？第一，它是個和式，而且有無限多項（因為當時）；第二，和式的各項都是兩部分的乘積，一部分是函數值，一部分是自變數的增量（一般來說，每一項的自變數增量都 $Delta x_{i}$ 取相等的，這樣容易計算，而且這個增量 $Delta x_{i}$ 是要趨於 0 的；對於前面那一部分的函數值 $fleft( xi_{i} ight)$ ，其中的 $xi_{i}$ 是在每一個區間 $left[ x_{i-1}, x_{i-1}+Delta x_{i} ight]$ 中任意取的，但為了方便，我們一般有三種取法：取區間的左端點、右端點或中點，但最可能取右端點）.為了方便理解，我們先舉一個簡單的例子：

這道題最簡單的方法是直接求和，裡面分子就是個等差數列，你會很輕易地得到答案 $frac{1}{2}$ . 我們現在用定積分定義做一下. 首先我們應該看看這個式子具不具有剛才說的兩個特點. 第一，它是個和式，而且有無限多項，這沒問題. 第二，每一項都是自變數增量和函數值的乘積. 事實上，我們如果把 $frac{1}{n^{2}}$ 拆成 $frac{1}{n} imesfrac{1}{n}$ , $frac{1}{n^{2}}$ 拆成 $frac{2}{n} imesfrac{1}{n}$ ...... $frac{n}{n^{2}}$ 拆成 $frac{n}{n} imesfrac{1}{n}$ .這樣一來，每一項後面的 $frac{1}{n}$ ，就可以看作是一個長度為 1 的閉區間被平均分成了n 份後每份的長度，這也就是自變數的增量，如果假設這個區間是，也就是整個區間被分成了 n 個小區間 $left[ 0,frac{1}{n} ight],left[ frac{1}{n},frac{2}{n} ight],.....left[frac{n-1}{n} ,frac{n}{n} ight]$ ,每一個區間的增量都是 $frac{1}{n}$ ,各個小區間的右端點分別為 $frac{1}{n},frac{2}{n},....frac{n}{n}$ .函數在這些右端點處的函數值恰好也為 $frac{1}{n},frac{2}{n},....frac{n}{n}$ ，所以原極限= $int_{0}^{1}xdx=left[ frac{1}{2}x^{2} ight]_{0}^{1}=frac{1}{2}$ .以上展現了尋找被積函數的過程，但我們沒有必要每遇到一道題就像上面一樣思考一遍，下面介紹一種較為簡單的思考方法. 實際上，讓你用定積分定義計算的極限，被積區間一般都可以看作，看成最方便，所以一般需要你分離出一個增量 $frac{1}{n}$ ，也就是區間被分成了 n 個小區間 $left[ 0,frac{1}{n} ight],left[ frac{1}{n},frac{2}{n} ight],.....left[frac{n-1}{n} ,frac{n}{n} ight]$ ,剩下的工作就是觀察一下：你剛才分離完 $frac{1}{n}$ 以後剩下的部分，是各區間內哪個點（一般是右端點 $frac{i}{n}$ ）代進哪個函數所形成的函數值？在這裡有一個技巧，當你提出一個 $frac{1}{n}$ ，可以把剩下的部分整理成一個關於 $frac{i}{n}$ 的式子，再把所有的 $frac{i}{n}$ 換成 x ，這就是區間上的被積函數了. 當我們找到這麼一個被積函數，整個定積分式也就確定下來了，就可以用求積分來代替求極限了.

總結成四步，就是：①寫成含有符號的求和式，對通項提出一個 $frac{1}{n}$ ；②對提走 $frac{1}{n}$ 後剩下的部分整理，整理成一個關於 $frac{i}{n}$ 的式子；③把 $frac{i}{n}$ 換成 x ，就是被積函數；④計算這個被積函數在上的定積分，即為原極限值. 一式以蔽之，即：