未來還有沒有可能出現像集合論、群論、非歐幾何這樣能徹底改變人們傳統觀念的數學理論？

19 世紀，群論的誕生改變人們對於數與運算的認識，集合論刷新了人們對於無窮的認知，非歐幾何則徹底改變了人們對空間的認識，那麼未來還有沒有可能出現像集合論，群論，非歐幾何這樣能徹底改變人們傳統觀念的數學理論？
有回答提到抽象代數幾何、範疇，個人認為它們只是提供了新思想、新工具，並沒有與原有的理論衝突，也沒有像非歐幾何那樣徹底改變人們的傳統觀念。還有朋友提到選擇公理，選擇公理在目前的公理體系下既不能證明也不能證偽，目前也沒有更好的結果。
「徹底改變傳統觀念」這個描述可能有點主觀。我想表達的是：未來是會不斷地出現改變傳統觀念的理論，不斷地打破人們的認知，還是像湯姆孫猜想的那樣，到某個理論為止，物理學或者數學的大廈就基本建成，剩下的只需要做修修補補的工作，再也不會出現顛覆性的理論了？

謝邀。

群論，非歐幾何都是200年前的數學，你認為最簡單的集合論反而是20世紀初的數學，Cantor創立的。最近100年的數學，範疇論，代數拓撲，抽象代數幾何，等等等等，很多都是非常新穎的數學觀念。現在正在發展的一些數學思想，比如higher algebra ， infinity category等等，未來也有可能形成新的概念體系。你如果對這種抽象的新型數學結構感興趣，不妨去關注下Jacob Lurie這類數學家的工作。

有時候看到這種問題，不知道是覺得好笑還是覺得悲哀。不是這個世界太無聊，而是很多人太無知又拒絕學習。。而且有些人又總喜歡拿自己極其有限又已經固化的認知去概括整個世界。有時候在網上看到別人尬吹相對論或者群論什麼的，真的很無語。他們是很偉大，但是拜託，他們現在也只是數學，物理專業的本科課程好么。。（當然我說的是基礎知識部分）不要自以為是地覺得這個世界100年來沒有任何變化，不要以為直到現在也還只有少數幾個物理學家理解愛因斯坦的想法——拜託，相對論早已是共識了好么。。真想了解就去主動學習，不要葉公好龍。

最近的有HoTT同倫類型論。選擇公理的問題，首先你要搞懂什麼是證明以及證明的語義，不是你這裡說不能證真也不能證偽的問題，而是他是一個axiom公理。近年來在metamath上的各種成就已經顛覆我好多次觀念了。當你把這些東西都學了你才能明白，並且原來的那一部分基礎一樣很重要。

數字的幾何應該也算吧？我覺得算術幾何的建立不亞於這幾個概念。

範疇論應該也算吧？我覺得從相對性關係認識對象是一次數學哲學的飛躍。

為啥一定要顛覆呢？

世界上還有很多問題壓根沒被研究過，有很多問題被研究了，但沒有被解決，假如開創一個新的領域、新的研究方法，同樣是偉大的成就。而這是很有可能的。

如果真要說顛覆，有可能，但很小。量子力學也沒有說「顛覆」了古典力學，還是要用的，只不過在微觀領域，就不用古典力學了。

首先，我認為群論並沒有改變人們的數學觀念，僅僅是提出了一些新的概念並拿出來研究，和原有的數學觀念並不衝突。

集合論和非歐幾何出現的原因，都是因為當時已有的數學理論不夠嚴格。

集合論其實既有純粹提出新概念的成分，又有改變傳統數學概念的成分，我就只提後者好了。後者一個典型例子是自然數集的構造，它是真的把自然數集給「構造」出來了，而傳統概念中，都是默認自然數集已經有了，但是怎麼「有」的？不知道，也不討論。公理化後的集合論還指出，什麼樣的是集合，什麼樣的不是集合，集合只能是通過某些特定的構造方式構造的，和公理化之前的集合論是有衝突的，公理化集合論誕生的原因也是原有理論的不完善。詳情請見羅素悖論。

非歐幾何是怎麼出現的呢？很久以前的數學家提出了十條幾何公理，其中有一條引起了質疑，後來的數學家嘗試改變那條公理，新的學科就誕生了。

如今，大部分數學理論已經很完善了，不過仍然有少數地方存在爭議，例如選擇公理是否正確，能否改造，之類的。至於現有的公理內部會不會有矛盾？這麼多年都沒人發現矛盾了，我估計不會再有矛盾了。

所以，現在要顛覆之前的數學觀念，是不太可能了。

底層工具當然很難發展出新意。

本土哲學邏輯上已經出現了『物事概念範疇論』和『性質概念偶合論』，比數學超前了。看來不久以後就會出現『徹底改變人們傳統觀念的數學理論』了，因為『徹底改變人們傳統觀念的哲學邏輯理論』已經出現了。

已經發現，範疇=集合+偶合i。以後很可能會出現範疇、集合、偶合三論融匯的數學理論。

無窮集合是混淆有限物事和無限性質的錯誤概念。連續統假設更是天荒夜談。是時候要矯正了。

形神邏輯將會重建整個數學公理系統，使物理學移建於一個更完備的邏輯系統之上而大同活化。

邏輯系統的完備化將使現代的死體科學升華兌變成未來的活體科學。這一點完全可以期待。

相比之下，集合論、群論、非歐幾何只是小兒科而已，畢竟它們都是建立在形式邏輯之上的。邏輯基礎的升級換代才是天翻地覆般的巨大事變。

沒有，曾經沒有過，未來也不會這些理論大的貢獻在於系統化而不是顛覆

哥德爾預言：非標準分析是未來的數學分析。

非標準分析已經發現連續統假設存在兩類反例，第五條公理的證明需要用到連續統假設的兩類反例，第五條公理隱含著三層幾何信息，第一層是歐式幾何，第二層是非歐式幾何，還存在第三層幾何，第三層幾何結構非常複雜，它們既不是歐式幾何也不是非歐式幾何。

非標準分析預測：意識的產生、物理的暗能量、暗物質和量子糾纏等所用的數學幾何結構會是第三層幾何結構。

Collatz猜想（傳說中的3n+1猜想），也叫黑洞猜想，證明它不僅能理解數學黑洞是什麼，更可怕的是它居然是解開物理上的黑洞密碼的關鍵，正如畢達哥拉斯所言：萬物皆數，看，以下證明過程是不是猶如在不同黑洞間連通蟲洞來實現瞬間時空隧道穿越，Oh my god ,科幻真的存在數學依據：正負對稱，超光速星際旅行真的不是夢