一直到高斯為止，數學界都有哪些成果？

分析的，幾何的（歐氏和非歐的），拓撲的，數論的。。都可以的。。

卸腰。

眾所周知，數學有個分支叫《抽象代數》又稱《近世代數》。其公認的起源是1832年法國數學家伽羅華髮明了群論。因而伽羅華被譽為近世代數的創始人。我們不妨把近世代數之前的稱為古典時期，之後稱之為近代數學，因為群論的誕生使得數學進一步抽象化有了可能。而高斯是1777年到1855年，所以高斯確切說是古典數學的皇帝。

為什麼稱這個時期是古典時期呢？因為這個時期現代數學的主要領域要麼沒有誕生要麼處於萌芽狀態。甚至古典數學的主要領域微積分還沒有嚴格化。ε－δ語言是柯西在1821年提出，後經魏爾斯特拉斯拉嚴格化。黎曼定積分的定義是1854年。儘管群論裡面有個定理叫拉格朗日定理，但如果你說拉格朗日懂群論就過分了。同理儘管微分幾何習慣追溯到高斯絕妙定理，但其主要功臣還是高斯的徒弟——黎曼。而從線性方程組雖然有高斯消元法，但矩陣乘法才1844年由德國人愛森斯坦定義，1850s的時候大傢伙還在研究三、四階矩陣的逆。至於現代數學的根基公理集合論1870s才由康托爾首次提出。至於勒貝格測度是1904年的產物……這些東西的提出和完善標誌著數學邁向現代。

因而我們不妨將數學分為三個階段：第一個是近世代數之前的古典數學，以計算為主；第二個是近世代數到1940s的近代數學，這是一個過渡時期，這個階段新的數學分支很多，除了之前提到的還有概率論的嚴格化、隨機過程、邏輯代數、泛函分析……事實上大學本科階段主要學習的屬於這一方面內容(當然大多數專業包括某些數學作業都只涉及到這些的九牛一毛)；然後是現代數學，以計算機的誕生為標誌，這一塊我不太熟不敢瞎逼逼。

所以這個問題可以轉換為古典數學我們都有什麼成績。我們再把古典時期再加以細分：有遠古時期、古希臘時期、經院時期、牛頓－萊布尼茨時期、歐拉時期、法國數學家群時期。此時德國數學家群還沒有誕生。我在日本人的一本《改變世界的134個概率論統計故事》(這本書是一本很有趣的書，推薦一波)中看到一個故事。有人問拉格朗日還是另外的誰，德國數學家最厲害的是誰？拉格朗日回答了一個名字(這個人貢獻很低，我忘了名字)。「難道不是高斯嗎？」「高斯是屬於歐洲的。」從側面說明德國人對數學的貢獻在古典數學階段只有一個高斯。古典時期的數學一大特點就是計算，人們對理論的嚴格性不是很關心。所以下面我們來看看古典數學的各個時期我們都可以算什麼。

結繩以記事

在遠古時期，人們從事的社會生活主要是採集和打獵以及分配生活，在這一時期人們掌握的數學知識大致只有數數和測量距離。比如說，今個打了多少獵物，或者多少步開外有棵果樹。這個時候人們只有關於整數和分數的概念。當然這時候零是包括在內的，零引入數學是很久以後的事情了，在此我們先不提。

不過隨著時間的推移，越來越多的信息不能依賴於口耳相傳。各個地區的古人發明了一套很相近的文字，在中國我們稱之為結繩記事，在古印加稱之為奇譜（khipu）。結繩記事是一套文字系統，它可以表達一些較複雜的概念。比如說中國的結繩記事，繩子就代表一條河流，而結就相當於房屋的地址。結繩記事因為歷史久遠難以考證，所以大多數都成為了本文明的神話。不過在西班牙征服者到了之前，古秘魯人依舊大量存留這種「奇譜」，因而我們有幸今日能夠一窺古人結繩記事的方法。不過關於這種文字還沒有徹底破譯。

立馬國家博物館的奇譜

前文說了，結繩實際上是一套文字系統，其也可以計數。科學家研究發現奇譜所採用的進位是十進位，因為每一條支上的結最多只到九個。

隨著人類進入農業文明之後，更高效的文字被發明出來之後，更加抽象的表示成為可能。總之古埃及人、古中國人後來都有了關於分數的記錄。與此同時，農業所要求丈量土地的面積和糧食的體積這些幾何學知識也被發明了出來。根據目前的考古工作，當時的幾個主要農業區域都已經有了關於一些簡單圖形，如矩形、梯形、長方體的面積體積計算公式。

泛舟地中海

儘管世界各地此時對數學或多或少都有不錯的貢獻，但地中海岸的那些腦袋絕對是一騎絕塵。在此我並不是在否決其它優秀的民族，而是基於一種傳統的敘事結構，習慣性地追溯到古希臘。

藉由莎草紙和羊皮捲軸，數學家的名字能夠流傳於世，史上第一個有記載的數學家同時也是第一個有記載的思想家是米利都的泰勒斯（Thales，-624~-546）。泰勒斯有一句著名的名言叫做：「人是萬物的尺度。」不過我們本文重點是討論其數學貢獻的。

米利都的泰勒斯

距希羅多德記載，泰勒斯預言出了前585年5月28日的日全食，；用相似三角形法測得了金字塔的高度；同時他也確定了一年的365日和春秋分以及冬夏至的時間點；最後還有以泰勒斯命名的一個定理，即直徑所對的圓周角是直角。我之前在這篇回答中提到過有關曆法的計算https://www.zhihu.com/question/62839590/answer/203968180。可以側面說明泰勒斯時代的數學水平。

泰勒斯有個弟子叫阿那克西曼德，阿那克西曼德再傳就是大名鼎鼎的薩摩斯的畢達哥拉斯（Pythagoras，-570~-495）。畢達哥拉斯最重要的貢獻就是畢達哥拉斯定理，即勾股定理。儘管勾股定理的最早發明權依舊存在爭論，有人認為是中國人、有人認為是古巴比倫人，不過最早給出證明的記錄指向畢達哥拉斯。另外畢達哥拉斯還發現了諧振、三維空間中的五個正多面體（這一結果多與柏拉圖的名字聯繫起來）、比例理論。畢達哥拉斯學派有一位重要的信徒希波蘇斯（Hippasus），他生活在畢達哥拉斯同時期，他最早發現了無理數。他的發現駁逆了畢達哥拉斯學派的哲學，其結局各個說法不一樣，但相同的一點都是最後葬身魚腹。