歐幾里得與《幾何原本》

　　在《幾何原本》煌煌13卷中，內容的分佈大體是這樣的：第1～4卷主要爲平面幾何，但間雜了數的理論—比如第2卷給出了乘法對加法的分配律等，並求解了若干代數方程；第5～6卷爲比例理論及相似理論，但同樣間雜了數的理論，且關於數有很深刻的洞見；第7～9卷以對數學分支的現代分類觀之，是對幾何與數的相對比例的逆轉——轉入了以數爲主的數論範疇，其中包括了對素數有無窮多個（第9卷命題20）等重要命題的證明；第10卷延續了以數爲主的局部“主旋律”，對“不可公度量”（即無理數）做了詳細討論；第11～13卷重返幾何，但由平面走向立體，以對包括“柏拉圖正多面體”在內的諸多立體幾何話題的探討結束了全書。

　　由於前文對《幾何原本》的介紹主要集中在幾何方面，在餘下的篇幅裏，我們將改換視角，跟這部恢宏鉅著中幾何以外的內容做一點“親密接觸”—當然，依然是在概述的層面上。

　　首先說說上面提到的第5卷所間雜的關於數的“很深刻的洞見”。這一卷關於數的介紹，可以說是繼畢達哥拉斯學派發現無理數之後，希臘數學在數的理論上的再次推進。這次推進雖未像發現無理數那樣發現新類型的數，卻具有很高的系統性，加深了關於數的理解，也因此贏得了後世數學家的敬意。比如科學巨匠艾薩克·牛頓（Isaac Newton）的老師艾薩克·巴羅（Isaac Barrow）曾將這一卷所構築的比例理論稱爲整部《幾何原本》中最精妙的發明，認爲“沒什麼東西比這一比例學說確立得更牢固，處理得更精密”。19世紀的英國數學家阿瑟·凱萊（Arthur Cayley）也表示“數學中幾乎沒什麼東西比這本奇妙的第5卷更美麗”。

　　這“奇妙的第5卷”究竟美麗在何處呢？我們不妨舉一個小小的例子，即這一卷的定義5來看。這條定義的字面表述是這樣的：對於四個量，“第一個量相對於第二個量與第三個量相對於第四個量被稱爲有相同比值，如果對第一和第三個量取任意相同倍數，對第二和第四個量也取任意相同倍數後，前兩個量之間若有大於、等於或小於關係，後兩個量之間就也有相同關係”。用符號轉述的話，這段晦澀文字可以表述爲：對A、B、C、D四個量，及任意正整數m和n，如果mA＞nB意味着mC＞nD，mA＝nB意味着mC＝nD，mA＜nB意味着mC＜nD，則表明A/B＝C/D。

　　Byrne彩圖版《幾何原本》中對定義5的表述

　　圖/BYRNE'S EUCLID

　　爲了看出這條定義的含義所在，我們不妨作一個小小的形式變換，將mA＞nB換成n/m＜A/B，將mC＞nD換成n/m＜C/D，依此類推。如此一來，這條定義可進一步表述爲：對A、B、C、D四個量及任意正整數m和n，如果n/m＞A/B意味着n/m＞C/D、n/m＝A/B意味着n/m＝C/D、n/m＜A/B意味着n/m＜C/D，則表明A/B＝C/D。由於m和n是任意正整數，因此n/m可表示任意有理數，上述定義則意味着A/B＝C/D是通過兩者與任意有理數具有相同的大小關係來定義的——或者反過來說，可以通過跟全體有理數之間的大小關係來定義（唯一的）數。

　　熟悉現代分析的讀者也許看出來了，上述定義的基本精神跟19世紀後期由德國數學家理查德·戴德金（Richard Dedekind）提出的用所謂“戴德金分割”（Dedekind cut）來定義實數的做法是完全類似的，因爲後者正是通過與全體有理數的大小關係來定義實數的。事實上，這兩種定義確實是彼此等價的。用希臘數學史專家希斯的話說：“在歐幾里得對相同比值的定義與戴德金的現代無理數理論之間存在着幾乎巧合般的嚴格對應。”這個跨越兩千多年時光的“嚴格對應”正是《幾何原本》第5卷所間雜的關於數的“很深刻的洞見”，那樣的洞見當然是美麗的—智慧上的美麗。

　　通過與《幾何原本》第5卷定義5類似的方法，戴德金用有理數定義了實數（即有理數與無理數的總和）。如令所有小於等於0的有理數與平方小於等於2的正有理數爲下組集合，餘下的有理數（即平方大於2的正有理數）爲上組集合。由於下組集合中無最大數，上組集合中無最小數。則兩個集合的“空隙”定義了無理數√2。

　　《幾何原本》中的數的理論在第7～9卷得到了進一步發展。這幾卷被科學史學家薩頓稱爲“第一部數論專著”。從這個意義上講，歐幾里得不僅是最著名的幾何學家，也是第一部數論專著的作者，堪稱“通吃”了當時的數學領域。

　　不過關於《幾何原本》中的數，有一個微妙之處值得一提，那就是《幾何原本》對“數”和“量”作了一個如今看來並無必要的區分：其中“量”本質上是線段長度，可以表示無理數；“數”則由單位長度積聚而成，本質上是整數，相互間的比值則是有理數。這種區分造成了一定的繁瑣性，比如“數”的比值與“量”的比值本該是統一的，但在《幾何原本》中的定義——前者爲第7卷定義20，後者爲第5卷定義5—卻很不相同，給後世的詮釋者帶來過不小的困擾，可以說是《幾何原本》的一個缺陷。

　　在《幾何原本》對“數”和“量”的區分下，我們統稱爲數的東西在《幾何原本》的第5卷指的是“量”，第7～9卷指的是“數”，第10卷指的又是“量”。不過名分雖異，處理手段卻都是幾何的。這種幾何手段起碼在歐幾里得時代有一個巨大優點，就是能很方便地處理當時還不無爭議的無理數及其運算，這種處理構成了第10卷的主要內容。

　　與其他各卷相較，《幾何原本》的第10卷是命題最多的，共有115個命題，約佔全書命題總數的1/4。在這些命題中，很值得一提的是命題1，即“給定兩個不相等的量，若從較大的量中減去一個大於其一半的量，再從餘量中減去大於其一半的量，如此連續進行，則必能得到一個比較小的量更小的量。”由於“較小的量”是任意的，因此由這一命題所得到的是任意小的量，這是所謂“窮竭法”的基礎，在一定程度上也是微積分思想的萌芽。“窮竭法”後來被阿基米德（Archimedes）用於計算很多形體的面積和體積，歐幾里得本人也在《幾何原本》的第12卷中用它證明了一系列重要命題，比如圓的面積正比於直徑的平方，球的體積正比於直徑的立方，圓錐的體積是與它同底等高的圓柱體積的1/3，等等，是《幾何原本》的重要亮點之一。

　　關於歐幾里得與《幾何原本》的概述就到這裏告一段落。在之後兩千多年的時間裏，幾乎可以這麼說：幾何就是歐幾里得幾何，甚至就是《幾何原本》。正如19世紀的英國數學家奧古斯塔斯·德·摩根（Augustus De Morgan）所言：“從來不曾有過，並且在親眼見到之前我們也決不該相信，會有任何值得一提的幾何體系，包含與歐幾里得所定的方案有任何偏差的材料。”以時間的延綿而論，歐幾里得的《幾何原本》可以跟此前的古希臘原子論及亞里士多德的邏輯鼎足而三；以體系的恢宏而論，則遠遠超過了亞里士多德的邏輯，更絕非在很長時間裏只具抽象意義的古希臘原子論可比。

　　希臘數學史專家托馬斯·希斯以及他的權威英譯本的扉頁。這個版本也是多數現代非英文譯本的基礎。

　　阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein）曾經盛讚《幾何原本》，表示在歐幾里得幾何中，“世界第一次目睹了一個邏輯體系的奇蹟，這個邏輯體系的步步推進是如此精密，使得它的每個命題都絕對無可置疑”。這“第一次目睹”給世界留下的印象是如此深刻，以至於《幾何原本》成了一個巨大典範，小到以諸如“證畢”（其拉丁文縮寫是如今幾乎每個中學生都熟悉的Q.E.D.）表示證明結束的習慣，大到以公理化體系作爲理論構築和表述的基本手段，都被廣泛模仿。在《幾何原本》的模仿者中，包括了科學家——比如牛頓，哲學家—比如伊曼努爾·康德（Immanuel Kant），神學家—比如托馬斯·阿奎納（St. ThomasAquinas），等等。至於數學家，則不僅僅是模仿者，而早已程度不等地習慣了以公理化手段爲數學理論的“標配”。

　　除這種領域性的影響外，《幾何原本》及其後繼作品還對許多著名學者的個人成長起到了近乎“第一推動力”的作用。比如愛因斯坦在晚年自述中回憶道：“12歲時，我經歷了另一種性質完全不同的驚奇：是在一個學年開始時，我得到一本關於歐幾里得平面幾何的小書時經歷的。那本書裏有許多斷言，比如三角形的三條高交於一點，雖然一點也不顯而易見，卻可以如此確定地加以證明，以至於任何懷疑都似乎是不可能的。這種明晰性和確定性給我留下了難以形容的印象。”

　　英國哲學家伯特蘭·羅素（Bertrand Russell）也在自傳中回憶道：“11歲時，我開始在哥哥的指導下學習歐幾里得，這是我一生最重大的事件之一。我從未想到過世上竟有如此有滋味的東西。當我學了第五個命題之後，哥哥告訴我那被普遍認爲是困難的，但我卻一點也沒覺得困難。這是我第一次意識到我也許有一些智慧。”

　　所有這些領域性或個人性的影響，都無可撼動地奠定了歐幾里得與《幾何原本》在數學史乃至科學史上的地位。可以毫不誇張地說，哪怕《幾何原本》的所有內容都出自前人，將之整理成如此嚴整有序、恢宏深邃的邏輯體系—這被史學界公認爲是歐幾里得的貢獻—也足以使歐幾里得成爲數學史乃至科學史上最偉大的教師，使《幾何原本》成爲數學史乃至科學史上最偉大的教科書。

　　本文發表於《科學世界》2019年3期