極限類題之積分上限的函數的極限

所謂積分上限函數，無非就是自變數出現在了積分上限的位置上. 如果純粹地讓你求一個積分上限函數的極限，實際上就是求反常積分的值，可以先求原函數再求極限. 而我們在此討論的，主要是積分上限函數出現在分式中的情況.一般來說，這種題型是 $frac{0}{0}$ 型的. 我們一般不把積分上限函數當成定積分，計算出它的值再求極限，這樣不僅太麻煩，而且對於許多題目來說是不可能的. 我們有更先進的方法，就是洛必達法則. 為什麼這麼說呢？因為你如果要用洛必達法則，就一定要對積分上限函數求導，而它的導數是很好得到的——積分上限函數 $Phileft( x ight)=int_{a}^{x}fleft( t ight)dt$ 的導數，恰好就等於 .這就大大的減少了你求原函數耽誤的時間。

比如求極限 $lim_{x ightarrow 0}{frac{int_{0}^{x}cost^{2}dt}{x}}$ ,這就是一個 $frac{0}{0}$ 型的極限，洛必達法則的三個使用條件在這一部分題目中一般都是成立的. 開始分別求導，分母的導數就是 1，分子的導數就是 $cosx^{2}$ ，所以

來一個稍難一點的：求極限 $lim_{x ightarrow 0}{}frac{int_{cosx}^{1}e^{-t^{2}}dt}{x^{2}}$ .這也是 $frac{0}{0}$ 型的，但分子上並不是積分上限函數. 為了給它求導方便，我們把它變成一個標準的積分上限函數. 首先，把下限的變數變到上限，

其次容易觀察，分子是由函數 $y=-int_{1}^{u}e^{-t^{2}}dt$ (積分上限函數)和複合而成的，根據複合函數的求導法則，就有 $frac{dy}{dx}=frac{dy}{du} imesfrac{du}{dx}=-e^{-u^{2}} imes(sinx)=sinxe^{-cos^{2}x}$ .分母的導數容易，是2x. 所以有