這是一個很重要的定理，也是本章的重點。這個定理可以交換積分的順序。

我們先簡單闡述一下 Fubini 定理跟 Tonelli 定理，然後重點證明一下 Fubini-Tonelli 定理。

Fubini 定理：令 和 為兩個 -有限的測度空間, 函數 是 可測的。如果 是可積的，那麼我們有 (式 11.3) 如下：

註：若 Fubini 定理中函數 的可積性是一個必須條件，若不滿足，那麼定理中的兩個迭代積分的值可能會不同。

註：Fubini 定理中 -有限的條件不是必須的。當 -有限的條件不滿足時，主要的問題是我們的乘積測度就不是唯一的了；而此時 Fubini 定理對於最大乘積測度 (maximal product measure, 註：給定任意兩個測度空間，總是存在唯一的一個最大乘積測度 , 這個測度可以由外測度加上 Caratheodory 擴張定理獲得) 仍然是成立的，但是對其他的乘積測度可能會失效。

Tonelli 定理：把 Fubini 定理中 可積的條件替換成了 是非負的，而結論不變。

註：對於 Tonelli 定理而言， -有限是一個必須的條件，若不滿足的話，等式中的三個積分值都有可能不相等。試圖放寬 -有限條件會需要加入額外的條件。當然 非負也是必須的。

一般而言， -有限的條件幾乎是無害的，因為大多數我們希望運用 Fubini 定理的可測空間都是 -有限 (除了某些抽象測度論的研究外)

把 Fubini 定理跟 Tonelli 定理的條件結合起來，就得到了 Fubini-Tonelli 定理：

Theorem 11.6 令 和 為兩個 -有限的測度空間, 函數 是 可測的。若 (a) 是非負的，即 ；或者 (b) 是可積的，即 - 那麼我們有如下結論：(1) 給定 ，函數 是 可測的(2) 給定 ，函數 是 可測的

(3) 函數 是 可測的

(4) 函數 是 可測的(5) 式 11.3 成立註：式 11.3 中的迭代積分嚴格理解應該是 跟 。

證：首先由 Lemma 11.1, (1)-(2) 成立。

若 , 那麼 (3)-(5) 就是 Lemma 11.1 和 Proposition 11.2 的結論。由可測函數的線性性以及積分的線性性 (Proposition 5.7 和 Theorem 7.4)，(3)-(5) 對簡單函數 也成立。

若 是非負函數，那麼由 Proposition 5.14, 我們可以找到一列簡單函數 。令。則 且 。運用 Lebesgue 單調收斂定理 (Theorem 7.1), 可知 ，於是由 Proposition 5.7 可得 (3)-(4) 成立。再次運用 Theorem 7.1 可得 (5) 也成立。若 是可積的，分解 ，則利用線性性可知 (3)-(5) 對 也成立。注意這裡 的可積性保證了 。證畢。

注意到如果我們有： , 那麼由於 是非負的，所以運用 Theorem 11.5, 可得 ，於是 是可積的。再度運用 Theorem 11.5 可得 。

所以 Fubini-Tonelli 定理中的條件："(a) 是非負的，或者 (b) 是可積的" 也可以換成 " (a) 或 (b) " - 這是 Fubini-Tonelli 定理的另一種形式。

當函數 是 可測時，我們有時候也稱 是聯合可測的 (jointly measurable)。

我們來看一個例子，主要是想展示一下兩個完備測度空間 和 的乘積測度空間 不一定是完備的。

Example 11.7 考慮實數 上的 Lebegue 測度 m, 令 是分別完備的。令 是一個 Lebesgue 不可測集，令 , 則 是 -不可測的 - 這是因為不然的話, 由 Lemma 11.1 可得 ，矛盾。令一方面 , 故 是一個零測集。所以乘積測度空間不完備。

但是，我們可以對乘積測度空間 進行比較合理的完備化擴展；相應的，Fubini-Tonelli 定理的結論也會有一個微小的改動。

我們先證一個引理，再證主定理。

Lemma 11.8 令 和 為兩個完備且 -有限的測度空間。令 是 關於測度 的完備可測空間。令 是 上的一個 -可測函數，且 a.e. ( ), 那麼對於幾乎所有的 而言, 對於幾乎所有的 都是成立的。特別的， 對於給定幾乎所有的 都是 可測的； 對於給定幾乎所有的 都是 可測的。

證：令 , 那麼 且 。由 4.6 節 Theorem 4.18中可測空間完備化的定義中我們可以找到一個可測集 ，使得 且 。根據 11.2 節 Proposition 11.6 可知

令 , 則 ；這是因為若 , 則 ，矛盾。同時我們有 。因為 且 是一個完備測度空間，於是 且 。由上面集合 的構造可知，若 我們有 。於是我們可得： , 是 -可測的, 且 a.e. ()。 同理可證 。證畢。

Theorem 11.9 令 和 為兩個完備且 -有限的測度空間。令 是 關於測度 的完備可測空間。令函數 是 可測的，那麼Theorem 11.5 中 的結論 (5) 保持不變，結論 (1)-(4) 改動如下：

(1) 對於幾乎所有的 ，函數 是 可測的(2) 對於幾乎所有的 ，函數 是 可測的(3) 中函數 是幾乎處處存在的，即 最多隻有在零測集 上對 是不可積的，且 是 可測的(4) 中函數 是幾乎處處存在的, 即 最多隻有在零測集 上對 是不可積的, 且 是 可測的

證：首先運用 5.4 節 Theorem 5.19，我們可以把 分解成兩個函數： , 其中 a.e. (), 而 是 -可測的。(註：由 Theorem 5.19，我們可以找到 a.e., 而 的作用就是在 的零測集上把它們不相等的差值給補上)。由 Theorem 5.19 的證明可知，當 非負的時候， 也是非負的；當 是可積的時候， 自然也是可積的；所以，函數 是滿足 Theorem 11.6 的條件的，故 Theorem 11.6 對函數 是成立的

Lemma 11.8 告訴我們 a.e. () 對幾乎所有的 成立; 同理可證 a.e. () 對幾乎所有的 成立。這就證明瞭 (3), (4)。同時，Lemma 11.8 也告訴我們 (1), (2) 成立。由 (1)-(4) 可知， 的重積分 (double integral) 和兩個迭代積分 (iterated integral) 的值分別跟 的重積分和兩個迭代積分的值相等，這就證明瞭 (5)。證畢。

我們可以很容易的把 Fubini-Tonelli 定理拓展到 個測度的乘積空間。若 ，其中 是 上 Lebesgue -代數 所對應的 Lebesgue 測度，那麼 就被稱為 -維 Lebesgue 測度。

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