这是一个很重要的定理，也是本章的重点。这个定理可以交换积分的顺序。

我们先简单阐述一下 Fubini 定理跟 Tonelli 定理，然后重点证明一下 Fubini-Tonelli 定理。

Fubini 定理：令 和 为两个 -有限的测度空间, 函数 是 可测的。如果 是可积的，那么我们有 (式 11.3) 如下：

注：若 Fubini 定理中函数 的可积性是一个必须条件，若不满足，那么定理中的两个迭代积分的值可能会不同。

注：Fubini 定理中 -有限的条件不是必须的。当 -有限的条件不满足时，主要的问题是我们的乘积测度就不是唯一的了；而此时 Fubini 定理对于最大乘积测度 (maximal product measure, 注：给定任意两个测度空间，总是存在唯一的一个最大乘积测度 , 这个测度可以由外测度加上 Caratheodory 扩张定理获得) 仍然是成立的，但是对其他的乘积测度可能会失效。

Tonelli 定理：把 Fubini 定理中 可积的条件替换成了 是非负的，而结论不变。

注：对于 Tonelli 定理而言， -有限是一个必须的条件，若不满足的话，等式中的三个积分值都有可能不相等。试图放宽 -有限条件会需要加入额外的条件。当然 非负也是必须的。

一般而言， -有限的条件几乎是无害的，因为大多数我们希望运用 Fubini 定理的可测空间都是 -有限 (除了某些抽象测度论的研究外)

把 Fubini 定理跟 Tonelli 定理的条件结合起来，就得到了 Fubini-Tonelli 定理：

Theorem 11.6 令 和 为两个 -有限的测度空间, 函数 是 可测的。若 (a) 是非负的，即 ；或者 (b) 是可积的，即 - 那么我们有如下结论：(1) 给定 ，函数 是 可测的(2) 给定 ，函数 是 可测的

(3) 函数 是 可测的

(4) 函数 是 可测的(5) 式 11.3 成立注：式 11.3 中的迭代积分严格理解应该是 跟 。

证：首先由 Lemma 11.1, (1)-(2) 成立。

若 , 那么 (3)-(5) 就是 Lemma 11.1 和 Proposition 11.2 的结论。由可测函数的线性性以及积分的线性性 (Proposition 5.7 和 Theorem 7.4)，(3)-(5) 对简单函数 也成立。

若 是非负函数，那么由 Proposition 5.14, 我们可以找到一列简单函数 。令。则 且 。运用 Lebesgue 单调收敛定理 (Theorem 7.1), 可知 ，于是由 Proposition 5.7 可得 (3)-(4) 成立。再次运用 Theorem 7.1 可得 (5) 也成立。若 是可积的，分解 ，则利用线性性可知 (3)-(5) 对 也成立。注意这里 的可积性保证了 。证毕。

注意到如果我们有： , 那么由于 是非负的，所以运用 Theorem 11.5, 可得 ，于是 是可积的。再度运用 Theorem 11.5 可得 。

所以 Fubini-Tonelli 定理中的条件："(a) 是非负的，或者 (b) 是可积的" 也可以换成 " (a) 或 (b) " - 这是 Fubini-Tonelli 定理的另一种形式。

当函数 是 可测时，我们有时候也称 是联合可测的 (jointly measurable)。

我们来看一个例子，主要是想展示一下两个完备测度空间 和 的乘积测度空间 不一定是完备的。

Example 11.7 考虑实数 上的 Lebegue 测度 m, 令 是分别完备的。令 是一个 Lebesgue 不可测集，令 , 则 是 -不可测的 - 这是因为不然的话, 由 Lemma 11.1 可得 ，矛盾。令一方面 , 故 是一个零测集。所以乘积测度空间不完备。

但是，我们可以对乘积测度空间 进行比较合理的完备化扩展；相应的，Fubini-Tonelli 定理的结论也会有一个微小的改动。

我们先证一个引理，再证主定理。

Lemma 11.8 令 和 为两个完备且 -有限的测度空间。令 是 关于测度 的完备可测空间。令 是 上的一个 -可测函数，且 a.e. ( ), 那么对于几乎所有的 而言, 对于几乎所有的 都是成立的。特别的， 对于给定几乎所有的 都是 可测的； 对于给定几乎所有的 都是 可测的。

证：令 , 那么 且 。由 4.6 节 Theorem 4.18中可测空间完备化的定义中我们可以找到一个可测集 ，使得 且 。根据 11.2 节 Proposition 11.6 可知

令 , 则 ；这是因为若 , 则 ，矛盾。同时我们有 。因为 且 是一个完备测度空间，于是 且 。由上面集合 的构造可知，若 我们有 。于是我们可得： , 是 -可测的, 且 a.e. ()。 同理可证 。证毕。

Theorem 11.9 令 和 为两个完备且 -有限的测度空间。令 是 关于测度 的完备可测空间。令函数 是 可测的，那么Theorem 11.5 中 的结论 (5) 保持不变，结论 (1)-(4) 改动如下：

(1) 对于几乎所有的 ，函数 是 可测的(2) 对于几乎所有的 ，函数 是 可测的(3) 中函数 是几乎处处存在的，即 最多只有在零测集 上对 是不可积的，且 是 可测的(4) 中函数 是几乎处处存在的, 即 最多只有在零测集 上对 是不可积的, 且 是 可测的

证：首先运用 5.4 节 Theorem 5.19，我们可以把 分解成两个函数： , 其中 a.e. (), 而 是 -可测的。(注：由 Theorem 5.19，我们可以找到 a.e., 而 的作用就是在 的零测集上把它们不相等的差值给补上)。由 Theorem 5.19 的证明可知，当 非负的时候， 也是非负的；当 是可积的时候， 自然也是可积的；所以，函数 是满足 Theorem 11.6 的条件的，故 Theorem 11.6 对函数 是成立的

Lemma 11.8 告诉我们 a.e. () 对几乎所有的 成立; 同理可证 a.e. () 对几乎所有的 成立。这就证明了 (3), (4)。同时，Lemma 11.8 也告诉我们 (1), (2) 成立。由 (1)-(4) 可知， 的重积分 (double integral) 和两个迭代积分 (iterated integral) 的值分别跟 的重积分和两个迭代积分的值相等，这就证明了 (5)。证毕。

我们可以很容易的把 Fubini-Tonelli 定理拓展到 个测度的乘积空间。若 ，其中 是 上 Lebesgue -代数 所对应的 Lebesgue 测度，那么 就被称为 -维 Lebesgue 测度。

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