在所有自然数中随机均匀地取一个数，取到1的概率是多少？
根据测度的可数可加性，如果是0的话，所有自然数的概率加在一起也是0；如果不是0的话，所有自然数的概率加在一起是正无穷。都与整个样本空间的概率为1矛盾，这该怎么解释呢？
如果「概率」是按概率论中，概率公理那样的意义的话，提问者的推理没有错。这恰好说明，满足概率公理的，定义自然数上的均匀概率不存在。因为无法满足可数可加性。
但是在其他语境下「概率」可能不是指概率论意义下的概率，而是别的意思。比如数论中，常用「自然密度」表示概率。比如，常说的自然数中取到偶数的概率是1/2，取到素数的概率是0，就是指如此意义的下的「概率」。
自然密度的定义，对于自然数的子集 ，设
为集合
中，不超过自然数
的元素个数。那么自然密度
为：
这样定义的「概率」虽然不满足可数可加性，但是满足很多人们对「概率」的直觉。
当然，不是每个自然数的子集，这个自然密度都存在，比如10进位表示展开中，首位是9的「概率」不存在。
某些关于「自然密度」的问题，可能是菲尔兹级别的大问题。
日经问题。
首先考虑如何构造所谓的「所有自然数中的均匀分布」。
定义概率测度 为在从1到n的集合上的均匀分布，即每点的概率都是
。
然后考虑该测度列的极限测度，尝试定义其为所谓的均匀分布。
可以证明，由于该测度列并非胎紧，其将逐点收敛（称淡收敛，vague converge）到全零测度。此时由于该极限测度并非概率测度，故而在通常的概率论意义下，「所有自然数的均匀分布」不存在，无法定义。
所以这不符合测度的定义，所以这不是概率，即这样定义出来的东西不是概率。
这不是典型的「无穷小不等于0」命题嘛。
取到1的概率是无穷小，近似为0。但无穷个无穷小相加之和不是0啊。有限个无穷小相加之和才是0。这里是典型的无穷个无穷小相加。
简单点说，没法均匀而随机地取一个自然数，这种取法无法给出合理定义。要随机取，先得有一个定义在自然数集上的概率测度，你可以理解为一个概率密度函数。对于你说的情况，并不存在符合条件的概率测度。
数学上的东西，不是你用自然语言一说，它就必须得存在的。「随机取」说起来容易，但缺乏定义。
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