在所有自然數中隨機均勻地取一個數，取到1的概率是多少？
根據測度的可數可加性，如果是0的話，所有自然數的概率加在一起也是0；如果不是0的話，所有自然數的概率加在一起是正無窮。都與整個樣本空間的概率為1矛盾，這該怎麼解釋呢？
如果「概率」是按概率論中，概率公理那樣的意義的話，提問者的推理沒有錯。這恰好說明，滿足概率公理的，定義自然數上的均勻概率不存在。因為無法滿足可數可加性。
但是在其他語境下「概率」可能不是指概率論意義下的概率，而是別的意思。比如數論中，常用「自然密度」表示概率。比如，常說的自然數中取到偶數的概率是1/2，取到素數的概率是0，就是指如此意義的下的「概率」。
自然密度的定義，對於自然數的子集 ，設
為集合
中，不超過自然數
的元素個數。那麼自然密度
為：
這樣定義的「概率」雖然不滿足可數可加性，但是滿足很多人們對「概率」的直覺。
當然，不是每個自然數的子集，這個自然密度都存在，比如10進位表示展開中，首位是9的「概率」不存在。
某些關於「自然密度」的問題，可能是菲爾茲級別的大問題。
日經問題。
首先考慮如何構造所謂的「所有自然數中的均勻分佈」。
定義概率測度 為在從1到n的集合上的均勻分佈，即每點的概率都是
。
然後考慮該測度列的極限測度，嘗試定義其為所謂的均勻分佈。
可以證明，由於該測度列並非胎緊，其將逐點收斂（稱淡收斂，vague converge）到全零測度。此時由於該極限測度並非概率測度，故而在通常的概率論意義下，「所有自然數的均勻分佈」不存在，無法定義。
所以這不符合測度的定義，所以這不是概率，即這樣定義出來的東西不是概率。
這不是典型的「無窮小不等於0」命題嘛。
取到1的概率是無窮小，近似為0。但無窮個無窮小相加之和不是0啊。有限個無窮小相加之和纔是0。這裡是典型的無窮個無窮小相加。
簡單點說，沒法均勻而隨機地取一個自然數，這種取法無法給出合理定義。要隨機取，先得有一個定義在自然數集上的概率測度，你可以理解為一個概率密度函數。對於你說的情況，並不存在符合條件的概率測度。
數學上的東西，不是你用自然語言一說，它就必須得存在的。「隨機取」說起來容易，但缺乏定義。
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