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就f(x)=1积分之后也不是周期函数啊……

其实分解成傅立叶级数就知道，三角函数的项积分之后还是周期的，但直流分量积分之后会变成线性函数，所以周期函数积分之后仍然是周期函数的充要条件是周期内积分刚好为0，也就是没有直流分量。

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可以证明，周期函数的积分可以写成一个周期函数和一个线性函数之和。

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扣个字眼……题目说的是「原函数是周期函数」，注意前后主语的一致性，那就可以理解为， 是可导周期函数，而 ，此时为什么 积分后不一定是周期函数。

这就很简单了……一个函数可导，并不意味著它的导函数可积啊，不管是黎曼积分还是勒贝格积分。

，这显然是一个周期函数，并且在 时导数为0，因此它是一个可导的周期函数。但是显然，它的导函数是无界的，因此黎曼不可积。为了考虑勒贝格可积性，可以忽略导函数中有界的成分，由于 和 的导函数都是有界的，所以只需要考虑中间一项：

是否具有勒贝格可积性。考虑原点附近的可积性，此时首先注意到，将 替换为1不会改变可积性，因为两者的差值在原点附近有界；

出于同样的理由， ， ，因此二者都可以进行替换（替换时的差值恰好抵消了 ，因此整体差值有界，不影响可积性）。最后，由于 和 是有界的，所以也可以进行替换。也就是说，只需要考虑 在 上的可积性即可。考虑区间 ，那么

只需要说明这个东西对 求和不收敛即可。但是我们已经知道 是发散级数，因此原式勒贝格不可积。

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举个反例，函数 显然是周期函数，积分得

显然积分后不是周期函数。

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核心原因：直流分量的积分不为周期函数——f(x)=1是周期函数，但其积分不是

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您想想对y=|sinx|积分咋得到周期函数？

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最直观的理解，假设导数处处为正，这函数显然一直增加，从哪来的周期？

但反之，对一个周期函数求导，显然也是周期的。

对一个周期函数积分，它确有周期性，但这是它增量上的周期性，就像是所谓的匀速运动和匀加速运动一样的区别。

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你用恒力矩转一个轮胎，为什么轮胎会越转越快？

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因为积分是面积想像一下一个值域全大于零的原函数(比如1+sinx)积分后一定是单调递增的。

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我突然想问一个镜像问题

如果原函数是周期函数，定义域（-∞,+∞）且连续可导，那么是不是它的一阶导数也是周期函数

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