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就f(x)=1積分之後也不是週期函數啊……

其實分解成傅立葉級數就知道，三角函數的項積分之後還是週期的，但直流分量積分之後會變成線性函數，所以週期函數積分之後仍然是週期函數的充要條件是週期內積分剛好為0，也就是沒有直流分量。

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可以證明，週期函數的積分可以寫成一個週期函數和一個線性函數之和。

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扣個字眼……題目說的是「原函數是週期函數」，注意前後主語的一致性，那就可以理解為， 是可導週期函數，而 ，此時為什麼 積分後不一定是週期函數。

這就很簡單了……一個函數可導，並不意味著它的導函數可積啊，不管是黎曼積分還是勒貝格積分。

，這顯然是一個週期函數，並且在 時導數為0，因此它是一個可導的週期函數。但是顯然，它的導函數是無界的，因此黎曼不可積。為了考慮勒貝格可積性，可以忽略導函數中有界的成分，由於 和 的導函數都是有界的，所以只需要考慮中間一項：

是否具有勒貝格可積性。考慮原點附近的可積性，此時首先注意到，將 替換為1不會改變可積性，因為兩者的差值在原點附近有界；

出於同樣的理由， ， ，因此二者都可以進行替換（替換時的差值恰好抵消了 ，因此整體差值有界，不影響可積性）。最後，由於 和 是有界的，所以也可以進行替換。也就是說，只需要考慮 在 上的可積性即可。考慮區間 ，那麼

只需要說明這個東西對 求和不收斂即可。但是我們已經知道 是發散級數，因此原式勒貝格不可積。

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舉個反例，函數 顯然是週期函數，積分得

顯然積分後不是週期函數。

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核心原因：直流分量的積分不為週期函數——f(x)=1是週期函數，但其積分不是

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您想想對y=|sinx|積分咋得到週期函數？

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最直觀的理解，假設導數處處為正，這函數顯然一直增加，從哪來的週期？

但反之，對一個週期函數求導，顯然也是週期的。

對一個週期函數積分，它確有周期性，但這是它增量上的週期性，就像是所謂的勻速運動和勻加速運動一樣的區別。

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你用恆力矩轉一個輪胎，為什麼輪胎會越轉越快？

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因為積分是面積想像一下一個值域全大於零的原函數(比如1+sinx)積分後一定是單調遞增的。

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我突然想問一個鏡像問題

如果原函數是週期函數，定義域（-∞,+∞）且連續可導，那麼是不是它的一階導數也是週期函數

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