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這個積分不但收斂，而且可以求出封閉結果。利用Laplace變換，注意到

於是就有

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既然已有人用留數算了這個積分，那我就來個更「炫技」的推廣：

計算積分：

其中

令 ，構造扇形圍道：

由於圍道內無奇點，所以：

而：

令 ，則 式變為：

即：

所以：

當 時，

便是著名的菲涅爾（Fresnel）積分。

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另一種解法參見 @一葦之所如 大佬的文章：

一葦之所如：積分隨想?

zhuanlan.zhihu.com

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這是菲涅耳（Fresnel）積分。我來個「炫技」的求解，使用留數定理。

記 ，規定路徑如下：

這裡 與我們待求的積分密切相關。

當半徑 時，由約當（Jordan）引理知 .

第三段傾角為 ，積分為

其中泊松（Poisson）積分的推理如下：

（直角坐標化為極坐標）

那麼

由留數定理知

故

，順便得到了 .

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這個叫Fresnel積分。我看到的書上的做法是一個看似震撼我媽但是其實是有背景（參見予一人大佬的回答）的做法。

首先是常規操作，令 ，則 。

我們知道 。對此做點變數替換得到 。從而有

(至於為什麼積分號可以交換。。。懶得寫了2333）

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引理：

證明：根據Gamma函數的定義^[1]，有：

現在考慮扇形圍道積分：

其中：

現在設 則 ，因此當 時有 ，再根據柯西積分定理可知 ，所以對(1)式取 的極限，得：

再由引理可得結論：

其中當 時，可得 @Aries的結論：

再令n=2，得原題答案：

習題

證明：

參考

1. ^Gamma函數的那些事兒（1）——定義 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/114041258

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這是經典的【菲涅爾積分】，前面大佬們的回答已經非常詳細了，在這裡我給出一個大多數人能看懂的簡便方法。

這個方法的核心，是利用歐拉公式，將三角函數轉化為指數函數，然後再利用高斯積分(也稱概率積分)的結論即可快速得出答案，這應該是最快的方法之一。

當然，至於高斯積分本身的計算，這又是另一個問題了，可以使用廣義二重積分求解，也可以採用含參積分。前者是考研黨應該掌握的方法。

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可以輕易證明 收斂

事先知道 ，

此時考慮 ,構建以原點為中心，半徑為 幅角以逆時針方向增加 弧度的扇形圍道，

分別有 , 和

又由留數定理

用Jordan引理可知

此時令 ,於是

整理一下便是

分離虛部即為所求。

更一般的，如果考慮 ,構建一個如上幅角為 弧度的扇形圍道，則可以得到

其中 為Euler Gamma函數，定義為

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雖然此有點循環論證的意味，但我還是把這個解法搬過來吧

考慮函數 ，有奇點 ，

構建以0點為中心，四個頂點坐標分別為 , , , 的平行四邊形圍道，有

用留數定理

令 ，於是有

即

也就是

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這是菲涅爾（Fresnel）積分，我知道有一個解答，方法雖然寫起來有點繁瑣，但是一般知道一點積分常識的都會用

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菲涅爾積分，直接搜就可以了

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