這個積分不但收斂,而且可以求出封閉結果。利用Laplace變換,注意到 於是就有 既然已有人用留數算了這個積分,那我就來個更「炫技」的推廣: 計算積分: 其中 令 ,構造扇形圍道: 由於圍道內無奇點,所以: 而: 令 ,則 式變為: 即: 所以: 當 時, 便是著名的菲涅爾(Fresnel)積分。 另一種解法參見 @一葦之所如 大佬的文章: 一葦之所如:積分隨想?zhuanlan.zhihu.com 這是菲涅耳(Fresnel)積分。我來個「炫技」的求解,使用留數定理。記 ,規定路徑如下: 留數路徑這裡 與我們待求的積分密切相關。當半徑 時,由約當(Jordan)引理知 . 第三段傾角為 ,積分為 其中泊松(Poisson)積分的推理如下: (直角坐標化為極坐標) 那麼 由留數定理知 故 ,順便得到了 . 這個叫Fresnel積分。我看到的書上的做法是一個看似震撼我媽但是其實是有背景(參見予一人大佬的回答)的做法。首先是常規操作,令 ,則 。我們知道 。對此做點變數替換得到 。從而有 (至於為什麼積分號可以交換。。。懶得寫了2333) 引理: 證明:根據Gamma函數的定義[1],有: 現在考慮扇形圍道積分: 其中: 現在設 則 ,因此當 時有 ,再根據柯西積分定理可知 ,所以對(1)式取 的極限,得: 再由引理可得結論: 其中當 時,可得 @Aries的結論: 再令n=2,得原題答案: 習題 證明: 參考 ^Gamma函數的那些事兒(1)——定義 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/114041258 這是經典的【菲涅爾積分】,前面大佬們的回答已經非常詳細了,在這裡我給出一個大多數人能看懂的簡便方法。 菲涅爾積分的計算這個方法的核心,是利用歐拉公式,將三角函數轉化為指數函數,然後再利用高斯積分(也稱概率積分)的結論即可快速得出答案,這應該是最快的方法之一。 當然,至於高斯積分本身的計算,這又是另一個問題了,可以使用廣義二重積分求解,也可以採用含參積分。前者是考研黨應該掌握的方法。 高斯積分的計算 可以輕易證明 收斂事先知道 ,此時考慮 ,構建以原點為中心,半徑為 幅角以逆時針方向增加 弧度的扇形圍道,分別有 , 和 又由留數定理 用Jordan引理可知 此時令 ,於是 整理一下便是 分離虛部即為所求。 更一般的,如果考慮 ,構建一個如上幅角為 弧度的扇形圍道,則可以得到 其中 為Euler Gamma函數,定義為 雖然此有點循環論證的意味,但我還是把這個解法搬過來吧考慮函數 ,有奇點 ,構建以0點為中心,四個頂點坐標分別為 , , , 的平行四邊形圍道,有 用留數定理 令 ,於是有 即 也就是 這是菲涅爾(Fresnel)積分,我知道有一個解答,方法雖然寫起來有點繁瑣,但是一般知道一點積分常識的都會用 菲涅爾積分,直接搜就可以了 推薦閱讀:
這個積分不但收斂,而且可以求出封閉結果。利用Laplace變換,注意到
於是就有
既然已有人用留數算了這個積分,那我就來個更「炫技」的推廣:
計算積分:
其中
令 ,構造扇形圍道:
由於圍道內無奇點,所以:
而:
令 ,則 式變為:
即:
所以:
當 時,
便是著名的菲涅爾(Fresnel)積分。
另一種解法參見 @一葦之所如 大佬的文章:
一葦之所如:積分隨想?zhuanlan.zhihu.com
這是菲涅耳(Fresnel)積分。我來個「炫技」的求解,使用留數定理。
記 ,規定路徑如下:
這裡 與我們待求的積分密切相關。
當半徑 時,由約當(Jordan)引理知 .
第三段傾角為 ,積分為
其中泊松(Poisson)積分的推理如下:
(直角坐標化為極坐標)
那麼
由留數定理知
故
,順便得到了 .
這個叫Fresnel積分。我看到的書上的做法是一個看似震撼我媽但是其實是有背景(參見予一人大佬的回答)的做法。
首先是常規操作,令 ,則 。
我們知道 。對此做點變數替換得到 。從而有
(至於為什麼積分號可以交換。。。懶得寫了2333)
引理:
證明:根據Gamma函數的定義[1],有:
現在考慮扇形圍道積分:
其中:
現在設 則 ,因此當 時有 ,再根據柯西積分定理可知 ,所以對(1)式取 的極限,得:
再由引理可得結論:
其中當 時,可得 @Aries的結論:
再令n=2,得原題答案:
證明:
這是經典的【菲涅爾積分】,前面大佬們的回答已經非常詳細了,在這裡我給出一個大多數人能看懂的簡便方法。
這個方法的核心,是利用歐拉公式,將三角函數轉化為指數函數,然後再利用高斯積分(也稱概率積分)的結論即可快速得出答案,這應該是最快的方法之一。
當然,至於高斯積分本身的計算,這又是另一個問題了,可以使用廣義二重積分求解,也可以採用含參積分。前者是考研黨應該掌握的方法。
可以輕易證明 收斂
事先知道 ,
此時考慮 ,構建以原點為中心,半徑為 幅角以逆時針方向增加 弧度的扇形圍道,
分別有 , 和
又由留數定理
用Jordan引理可知
此時令 ,於是
整理一下便是
分離虛部即為所求。
更一般的,如果考慮 ,構建一個如上幅角為 弧度的扇形圍道,則可以得到
其中 為Euler Gamma函數,定義為
雖然此有點循環論證的意味,但我還是把這個解法搬過來吧
考慮函數 ,有奇點 ,
構建以0點為中心,四個頂點坐標分別為 , , , 的平行四邊形圍道,有
用留數定理
令 ,於是有
即
也就是
這是菲涅爾(Fresnel)積分,我知道有一個解答,方法雖然寫起來有點繁瑣,但是一般知道一點積分常識的都會用
菲涅爾積分,直接搜就可以了