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很自然可以想到

這裡 表示 的小數部分。問題是，這個序列 是否有極限。下面從兩個角度展開：

首先是其他答主提到的另一個問題：

通過類似的處理，等價於討論 的極限（因為事先知道極限為零，所以不必除2）。這個問題簡單的多，因為我們有

（ ）

不難得到

所以有

於是我們就得到 （事實上，分 和 討論，均有 ）

從這個角度出發，不難得到如下的一個想法：

我們希望找到這樣一個級數：

這裡 為整數，使得 的極限易於判別。例如，利用項明達公式：

可以得到

儘管 時 必為整數，我們卻無法保證 在此範圍內一直為整數，這是因為 中2的冪次為 ，而 中2的冪次則比2k小得多（對充分大的k），因而不能保證 時所有的 都為整數。（也不大可能精確的求出小數部分的極限）另外，根據瓦里斯公式， ( )，這表明只有 時纔有可能使餘項收斂於0（這使得大於1的非整數項遠遠超出我們可能估計的範圍），所以這條思路gg。當然，不排除有更合適的級數表達式能夠幫助我們判定極限的存在性乃至求出這一極限。

另外一個想法自然是反證法，讓我們試試證明這個極限不存在：

記

並假定

那麼就有 (對充分大的n)。注意到 其中 為 的2n次多項式，那麼sinx應當為0或該多項式的幾個根之一。。。

未完待續......

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高贊答案顯然是錯誤的。

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假設一個命題p為真，利用這個命題p推導出別的命題q為真，僅僅表示p?q或者!q?!p，也就是說你可以通過這個證明過程得到「如果極限不存在，則e+1/2π不是有理數」。但想以此來說明p的真假未知能推導出p真假未知的前提要是補充條件!p?!q，也就是需要保證p?q，顯然單向的推導過程是無法保證這個條件成立的。這和高中學過的充分條件與必要條件的邏輯類似。

但是也不能說這位答主的邏輯推導完全沒有價值。因為如果命題A「sin(n!)極限不存在」已經被證明為真，那麼命題B「e+1/2π為無理數」也會被證明為真，既然後者沒被證明，那麼只有有三種可能：

①A已經被證明為真，但世界上還沒有人發現A和B的關係，所以B未被解決。

②A已經被證明為假，所以無法通過A判斷B的真假，B未被解決。

③A尚未被證明，同樣也無法通過A判斷B的真假，B未被解決。

當然我相信①的可能性幾乎為0。問題在於②和③都是有可能，當B未被解決的時候，你並不知道是因為A沒被證明，還是因為A已經被證明為假。但至少我們知道了「sin(n!)很有可能並沒有被證明不存在」，算是提供一些參考價值吧。

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我也在答案中看到另一種觀點：

因為n!趨於無窮，所以sin(n!)的取值是振蕩的。這是一種錯誤的想法。很簡單的反例就是An＝sin(2nπ+1/n)，雖然2nπ+1/n趨於無窮，但顯然An的極限是為0的。

這個反例也揭露了一種證明極限存在的思路：

證明n!%2π的極限存在。

至於怎麼證.....我當然不知道呀.....要是知道就直接甩出來了。

逃。

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假設 是有理數，其中 是正整數。那麼當 的時候

。

因此，如果 沒有極限，就可以推出 是無理數，而後者是個未解決問題。

此回答已被編輯。

原標題「你的問題是一個未解決問題」存在爭議（見其它回答^[1]），已經刪除。

不過，直覺上看，使 有極限的實數 構成零測度集，所以1不太可能屬於這個集合；而證明它不屬於這個集合又能推出一個未解決問題。

參考

1. ^你們不用匿名，我想認識想和我討論數學的人

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想了想確實是一個 的問題，一反直覺，這種形式確實有可能存在極限。

用簡單的極限概念（微積分基礎，我也就會這麼多了）給出一個弱結論來拋磚引玉吧：

任給 ，使得

引理：

任給 ，可以構造一個收斂區間的序列 ，滿足 ，且

引理證明：

構造序列，令第一項 滿足條件且 的寬度為 ，則其中又必能找到子區間

而 ，收斂至 ，且 ，則區間序列最終收斂至常數，記為

引理推論：

任給 ，可以找到 ，使得當 時，有 ，即 屬於 的鄰域

這也就意味著 收斂於

至此，我們就已經證明瞭部分結論：

任給 ，存在 ，使得

即

為了進一步得到結論，對於給定的 項開始構造序列 ，其中

顯然存在

餘下步驟略去

整個證明過程的重點在於， 的同餘類是可以收斂的，因為無論將 限制在多麼小的範圍 ，只要 取足夠大，下一項 的取值範圍仍然能覆蓋整個同餘類。也就是說， 中又能找到一個子區間 ，它使得下一項 也在收斂值的鄰域之中

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有極限，並且是零。因為 （逃

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