很自然可以想到
這裡 表示 的小數部分。問題是,這個序列 是否有極限。下面從兩個角度展開:
首先是其他答主提到的另一個問題:
通過類似的處理,等價於討論 的極限(因為事先知道極限為零,所以不必除2)。這個問題簡單的多,因為我們有
( )
不難得到
所以有
於是我們就得到 (事實上,分 和 討論,均有 )
從這個角度出發,不難得到如下的一個想法:
我們希望找到這樣一個級數:
這裡 為整數,使得 的極限易於判別。例如,利用項明達公式:
可以得到
儘管 時 必為整數,我們卻無法保證 在此範圍內一直為整數,這是因為 中2的冪次為 ,而 中2的冪次則比2k小得多(對充分大的k),因而不能保證 時所有的 都為整數。(也不大可能精確的求出小數部分的極限)另外,根據瓦里斯公式, ( ),這表明只有 時纔有可能使餘項收斂於0(這使得大於1的非整數項遠遠超出我們可能估計的範圍),所以這條思路gg。當然,不排除有更合適的級數表達式能夠幫助我們判定極限的存在性乃至求出這一極限。
另外一個想法自然是反證法,讓我們試試證明這個極限不存在:
記
並假定
那麼就有 (對充分大的n)。注意到 其中 為 的2n次多項式,那麼sinx應當為0或該多項式的幾個根之一。。。
未完待續......
高贊答案顯然是錯誤的。