寫在前面：

1.使用教材是黃克智等老師編寫的《張量分析》。

2.由於書中有些地方沒有證明，所以在我的筆記中添加了部分證明和說明，如有錯誤還望指出，謝謝！

第二章目錄

2.1 二階張量的矩陣（本次筆記結束之處）

2.2 正則與退化的二階張量

2.3 二階張量的不變性

2.4 二階張量的標準型

2.5 幾種特殊的二階張量

2.6 二階張量的分解

2.7 正交相似張量

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2.1 二階張量的矩陣

2.1.1 二階張量的四種分量所對應的矩陣

任意二階張量 總可以寫成下列並矢展開式，這是對於坐標具有不變性的形式：

此外，在任意給定坐標系中的張量也可以用其分量來表示，即：協變分量 ，逆變分量 ，或混變分量 。四種分量均隨坐標系的變換而發生改變；但是，只要在一個特定坐標系中給定四種分量的任意一種，在該坐標系下的其他三種分量都可以通過指標升降關係求出，且其他任意坐標系中的四種張量分量也都可以通過坐標變換關係由它確定。可見，任一給定坐標系中的任意形式的全部張量分量包含有該張量的全部信息。

這段話很重要，高度概括了第一章所學的知識。

維空間中的認何一種形式的二階張量分量均含有 個分量。可以按通常表示矩陣的方式列出，一般以第一個指標符號對應於行號，第二個指標符號對應於列號，成為一個方陣。在三維空間中，可以列為 的方陣，一個張量在同一坐標系中四種形式的分量分別對應了四個不同的矩陣，記作： 。

由張量分量的指標升降關係有：

因此，二階張量的上述四個矩陣之間滿足以下關係：

其中 是度量張量的協變分量 構成的矩陣：

一般來講，二階張量的四個矩陣各不相等。應特別指出，切不可將 混為一談：

如不加特別說明，則默認 的矩陣是：

只有在笛卡爾坐標系中，上述四個矩陣才相等。

二階張量與矩陣雖然有上述關係，但他們並非全能一一對應。例如：首先，矩陣並非只包括方陣，而二階張量只能對應方陣；齊次，在一般坐標系中，轉置張量與轉置矩陣，對稱（或反對稱）張量與對稱（或反對稱）矩陣不能一一對應；第三，二階張量的某些運算不能全用矩陣的運算與之對應。

2.1.2 二階張量的轉置，對稱、反對稱張量及其所對應的矩陣

按照1.7.7節中對於任意階轉置張量的定義，一個二階張量 的轉置張量 為：

注意到 與 的分量之間的關係為：若基張量不變，分量的第一第二指標互換，但指標的協變、逆變性質不變，上面的實體表示法也可以寫成下面的分量表示法，兩種寫法是等價的：

即其對應的矩陣行列互換。

當然，也可以寫為矩陣形式：

其中 的矩陣分別互為轉置，而轉置張量 的 矩陣和 的 矩陣互為轉置；

轉置張量 的 矩陣和 的 矩陣互為轉置。

同樣，如果不更變分量的指標我們也可以更變基矢量的順序，這樣同樣便是將一個張量進行轉置：

當然還有：

若一個二階張量是對稱張量 ，則按照之前對對稱張量的定義有：

其矩陣具有以下性質：

由上式可見：對稱張量所對應的 矩陣是對稱矩陣，而 一般不是對稱矩陣， 和 , 和 一般還是不同的矩陣。

同理，若張量為反對稱的二階張量 ，則：

反對稱張量所對應的矩陣 矩陣是反對稱矩陣，而 一般不是反對稱矩陣。

只有在笛卡爾坐標系中，指標不在區分上下，張量的四種分量沒有區別，對稱（或反對稱）張量所對應的四種矩陣均無區別地對稱（反對稱）。

2.1.3 二階張量的行列式

二階張量所對應的四種不同的矩陣分別具有不同的行列式值。由之前四個矩陣之間的關係可知：

通常，定義 的行列式為張量 的行列式：

由於兩個互為轉置的矩陣的行列式的值相等，所以：

：

由： 的矩陣分別互為轉置，而轉置張量 的 矩陣和 的 矩陣互為轉置；轉置張量 的 矩陣和 的 矩陣互為轉置。

故兩個互為轉置的張量的行列式相等：

轉置張量所對應的矩陣的行列式值相等，則說明轉置張量的行列式值相等。

2.1.4 二階張量的代數運算與矩陣的代數運算

張量的相等、相加、標量與張量相乘等代數運算均與矩陣運算一一對應。

求二階張量的跡 ：即對二階張量進行縮並運算，對應於求 （或 ）矩陣的對角線元素之和。

二階張量與矢量的點積——線性變換：二階張量 在右邊點乘矢量 得到另一個矢量

上式的分量形式為：

上式相當於 的 矩陣乘以列陣 得到列陣 的矩陣運算。上式表示的運算具有以下線性性質：

其中 為任意實數， 為任意矢量。所以，與矩陣相同，二階張量也對應於一個線性變換，稱為映射。每一個二階張量都定義了一個將矢量空間的任意矢量 映射為另一個矢量 的線性變換。

與此類似的，二階張量 的左邊點乘矢量 得到另一個矢量 為：

上式相當於行陣 乘以 的 矩陣得到行陣 的矩陣運算。應當指出，對應於同一個 與 一般並不相等，但實際上左點乘相當於將 的轉置張量 進行右乘，即：

通常採用 為二階張量 的矩陣，故一般採用線性變換：

對於對稱張量和反對稱張量有：

一個矩陣對應於一個雙線性函數，而一個二階張量分別左、右點乘任意兩個矢量也對應於一個雙線性函數：

同時，如對稱矩陣一樣，一個對稱的二階張量也對應於一個二次型：

二階張量與二階張量的點積：二階張量 與二階張量 的點積仍為一個二階張量，設為 ，即：

分量形式為：

矩陣形式為：

矩陣乘法與張量的點積的對應關係僅對 矩陣成立，對於 矩陣則沒有這樣的對應關係。由於：

所以：

與矩陣相乘的次序不能更換一樣，二階張量的點積順序也不能交換。

二階張量的有些運算沒有對應的矩陣運算，例如並乘運算。

總之，二階張量和矩陣屬於兩種不同的概念（請務必拋棄二階張量就是矩陣這個想法！！！），但一個二階張量總可以在一定的坐標系下將其某種分量用矩陣進行表示。於是二階張量的一些運算就可以表示成為對應的矩陣運算，許多（不是全部）關於矩陣代數學的結論可以推廣應用到二階張量。

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