張量分析筆記（八）

寫在前面：

1.使用教材是黃克智等老師編寫的《張量分析》。

2.由於書中有些地方沒有證明，所以在我的筆記中添加了部分證明和說明，如有錯誤還望指出，謝謝！

第二章目錄

2.1 二階張量的矩陣

2.2 正則與退化的二階張量

2.3 二階張量的不變性

2.4 二階張量的標準型（本次筆記結束之處）

2.5 幾種特殊的二階張量

2.6 二階張量的分解

2.7 正交相似張量

2.4 二階張量的標準形

2.4.1 實對稱二階張量的標準形

2.4.1.1 基本概念

為了方便討論，我們先不加證明的給出一些基本概念，然後再加以證明。

定義對於一個實對稱的二階張量

$m{N}=N_{cdot j}^{i}vec{g}_{i}vec{g}^{j}$

上式中的 $vec{g}_{i}$ 是初始坐標系的基矢量，必定存在一組正交標準化基 $vec{e}_{1},vec{e}_{2},vec{e}_{3}$ ，在這組基中為對角型標準形：

$m{N}=N_1vec{e}_1vec{e}_1+N_2vec{e}_2vec{e}_2+N_3vec{e}_3vec{e}_3$

其所對應的矩陣是對角型的，即：

$m{N}=egin{pmatrix} N_1 & 0 &0 \ 0 & N_2 & 0\ 0 & 0 & N_3 end{pmatrix}$

其中稱為張量的主分量，正價標準化基 $vec{e}_1,vec{e}_2,vec{e}_3$ 的方向是張量的主軸方向（或稱為主方向），對應的笛卡爾坐標系稱為張量的主坐標系。

今後我們需要證明：1. 對稱的二階張量必定存在實的主分量；2. 主方向互相正交。

2.4.1.2 對稱二階張量的特徵方程

本小節將給出張量的主分量是它所對應的特徵方程的根，而主方向則是相應的特徵矢量方向。

設矢量是張量的一個主方向，則根據張量的分量表達式以及主方向的定義，將映射為與自身平行的矢量，並加以放大（或縮小），設放大或縮小的倍數為，按照定義，是對應的主分量，即

：
$m{N}cdotvec{a}=egin{pmatrix} N_1 & 0 &0 \ 0 & N_2 & 0\ 0 & 0 & N_3 end{pmatrix}cdotegin{pmatrix} a_1\ a_2\ a_3 end{pmatrix}=egin{pmatrix} N_1a_1\ N_2a_2\ N_3a_3 end{pmatrix}:=lambdaegin{pmatrix} a_1\ a_2\ a_3 end{pmatrix}=lambdacdot vec{a}$

上式的分量形式為：

$N_{cdot j}^{i}a^j=lambda a^i (i=1,2,3)$

上式中的 $N_{cdot j}^{i}$ 是初始坐標系中的分量，上式還可以寫作：

$(lambdadelta_{j}^{i}-N_{cdot j}^{i})a^j=0 (i=1,2,3)$

：
$N_{cdot j}^{i}a^j=lambda a^iLeftrightarrow N_{cdot j}^{i}a^j=lambda a^jdelta_{j}^{i}Leftrightarrow(lambda delta_{j}^{i}- N_{cdot j}^{i})a^j=0$

上式的展開式為：

$(lambda-N_{cdot 1}^{1})a^1-N_{cdot 1}^{2}a^2-N_{cdot 1}^{3}a^3=0(igstar)$

$N_{cdot 1}^{2}a^1-(lambda-N_{cdot 2}^{2})a^2-N_{cdot 3}^{2}a^3=0$

$N_{cdot 1}^{3}a^1-N_{cdot 2}^{3}a^2-(lambda-N_{cdot 2}^{3})a^3=0$

：
我僅證明，後面的兩式同理。對於，當且僅當時 $delta_{j}^{i}=1$ ，其餘均等於零，所以，在中，只有係數中的 $delta_{j}^{i}=1$ 。

這是關於 $a^{j}(j=1,2,3)$ 的一組齊次線性代數方程組，對其求解可以得到 $a^{j}(j=1,2,3)$ 的比值，即矢量的方向。上面的式子中存在非零解的條件是其係數行列式的值等於零，即：

$Delta(lambda)=det(lambdadelta_{j}^{i}-N_{cdot j}^{i})=0）(star)$

易知，的係數就是的三個主不變數 $mathscr{J}_{1}^{N},mathscr{J}_{2}^{N},mathscr{J}_{3}^{N}$ ，可證得：

$Delta(lambda)=lambda^2-mathscr{J}_{1}^{N}lambda^2+mathscr{J}_{2}^{N}lambda-mathscr{J}_{3}^{N}(starstar)$

式稱為張量的特徵方程，而式稱為張量的特徵多項式。特徵方程是一個三次代數方程，有三個根，稱為特徵根，也就是張量的主分量。當三個特徵根為非重根時，分別對應 $a^{j}(j=1,2,3)$ 的非零解，各自構成不同的矢量方向，稱為特徵矢量，也就是與主分量相對應的的三個主方向。

2.4.1.3 實對稱二階張量的特徵根必為實根

實對稱的二階張量的特徵方程必有個實根，其證明如下。

設實對稱的二階張量的特徵方程有一個復根，由於其係數全為實數，故的共軛復根也必定是特徵方程的另一個根。如果對應的特徵矢量是（其分量也涉及複數），則對應的特徵矢量就應是（其分量是的對應分量的共軛複數）。

由：

可得：

但因對稱，以上兩式的左端相等，，故其右端也相等，即注意到，故，故是實數。

2.4.1.4 實對稱二階張量主方向的正交性

當對稱二階張量具有三個不相等的實數根時，設，所對應的三個主軸方向 $vec{a}_1,vec{a}_2,vec{a}_3$ 是唯一的且互相正交。其證明方法與前一小節類似。

當實對稱的二階張量有重根時，主軸的方向將不是唯一的。此時，將重根代入的齊次線性方程組時，其係數矩陣的秩將小於二。當對稱二階張量的特徵方程具有兩個相等的實根時，設，與對應的主方向 $vec{a}_{3}$ 是一個確定的主方向，與 $vec{a}_{3}$ 垂直的平面內的任意方向均是主方向，可任取兩個相互正交的方向 $vec{a}_{1},vec{a}_{2}$ 為主方向。當對稱二階張量的特徵方程具有三重實根時，在空間中任意一組正交標準化基中都化為對角標準型，稱這種張量為球形張量，記作。球形張量的主分量為：

$P_1=P_2=P_3={1 over 3}mathscr{J}_1$

$m{P}={1 over 3}mathscr{J}_1m{D}$

綜上所述，無論實對稱二階張量的特徵方程是否有重根，總可以選擇一組笛卡爾坐標係為其主坐標，坐標軸方向為其主方向。

2.4.1.5 實對稱二階張量所對應的線性變換

實對稱二階張量所對應的線性變換是將的三個主方向上的矢量 $vec{a}_1,vec{a}_2,vec{a}_3$ 映射為平行於自身的方向（同向或反向）的矢量，且各自放大倍，即：

$m{N}cdotvec{a}_1=N_1cdot vec{a}_1$

$m{N}cdotvec{a}_2=N_2cdot vec{a}_2$

$m{N}cdotvec{a}_3=N_3cdot vec{a}_3$

2.4.1.6 主分量是當坐標變換時的混合分量對角元素之駐值

證明次命題涉及求函數 $N_{cdot 1}^{1}=eta_{i}^{1}eta_{1}^{j}N_{cdot j}^{i}, N_{cdot 2}^{2}=eta_{i}^{2}eta_{2}^{j}N_{cdot j}^{i}, N_{cdot 3}^{3}=eta_{i}^{3}eta_{3}^{j}N_{cdot j}^{i}$ 的條件極值問題，其條件是當進行坐標變換時，變換係數（函數的自變數）應滿足：

$eta_{i}^{1}eta_{1}^{i}=eta_{i}^{2}eta_{2}^{i}=eta_{i}^{3}eta_{3}^{i}=1$

以 $N_{cdot 1}^{1}$ 為例，證明當進行坐標變換時，使 $N_{cdot 1}^{1}$ 取駐值的條件就是與 $(lambdadelta_{j}^{i}-N_{cdot j}^{i})a^j=0 (i=1,2,3)$ 相同的求齊次線性代數方程組的特徵值與特徵矢量問題。若引入乘子，則問題轉化為求下列函數的無條件極值問題：

$varphi=eta_{i}^{1}eta_{1}^{j}N_{cdot j}^{i}-lambda(eta_{i}^{1}eta_{1}^{j}delta_{ j}^{i}-1)$

乘子法，約束添加是 $eta_{i}^{1}eta_{1}^{i}=eta_{i}^{1}eta_{1}^{j}delta_{j}^{i}=1$ ，目標函數是 $eta_{i}^{1}eta_{1}^{j}N_{cdot j}^{i}=N_{cdot 1}^{1}$

使函數取極值的額條件是，即：

$0=mathrm{d}varphi=(eta_{i}^{1}N_{cdot j}^{i}-lambdadelta_{j}^{i}eta_{i}^{1})mathrm{d}eta_{1}^{j}+(eta_{1}^{j}N_{cdot j}^{i}-lambdadelta_{j}^{i}eta_{1}^{j})mathrm{d}eta_{i}^{1}$

由於 $mathrm{d}eta_{i}^{1} mathrm{d}eta_{1}^{j}$ 的任意性，使上式得到滿足的條件是：

$eta_{i}^{1}(N_{cdot j}^{i}-lambdadelta_{j}^{i})=0(i=1,2,3), eta_{1}^{j}(N_{cdot j}^{i}-lambdadelta_{j}^{i})=0(j=1,2,3)$

同理有：

$eta_{i}^{i}(N_{cdot j}^{i}-lambdadelta_{j}^{i})=0, eta_{i}^{j}(N_{cdot j}^{i}-lambdadelta_{j}^{i})=0$

由於上式，使轉換係數 $eta_{i}^{i}$ 有非零解的條件是 $Delta(lambda)=det(lambdadelta_{j}^{i}-N_{cdot j}^{i})=0$ ，此式就是的特徵方程。解得乘子的當個根，便可求得對應的變換係數 $eta_{i}^{i}$ 及其相應的坐標 $x^{i^{}}$ 的方向，這便是 $N_{cdot 1}^{1},N_{cdot 2}^{2},N_{cdot 3}^{3}$ 取駐值的方向，顯然，其與的主方向是完全一致的。且 $x^{i^{}}$ 坐標系中的矩陣的非對角元素均為零，而對角元素為乘子，也就是的特徵方程的根。

2.4.2 非對稱二階張量的標準型

對於非對稱的二階張量，也需通過坐標轉換化為某種形式的標準型的問題，以便對其本質有更深入的了解。讓我們仿照討論對稱二階張量的建立他的特徵方程。設存在某個方向矢量，對任意的二階張量將映射為平行於自身的矢量並放大倍。即：

其分量形式是：

$(lambdadelta _{j}^{i}-T_{cdot j}^{i})a^{j}=0, (i=1,2,3)$

：

$T_{cdot j}^{i}a^j=lambda a^i$
$a^i=a^jdelta_{j}^{i}$ $T_{cdot j}^{i}a^j-lambda a^i=T_{cdot j}^{i}a^j-lambda a^jdelta_{j}^{i}=(lambda delta_{j}^{i}-T_{cdot j}^{i})a^j=0$

與對稱二階張量類似，非對稱二階張量的特徵方程為：

$Delta(lambda)=lambda^3-mathscr{J}_{1}^{T}lambda^2+mathscr{J}_{2}^{T}lambda-mathscr{J}_{3}^{T}=0$

但與實對稱的二階張量不同的是，上述的特徵方程不一定能夠找到3個實根，對應三個主方向，使張量在由這3個方向構成的坐標系中化為對角標準型。

由於張量的分量，從而其不變數是實數，故張量的特徵方程是一個實係數方程，他必定有一個實根，記作。設所對應的特徵矢量為 $vec{g}_3$ ，故取其作為一個基矢量，則：

$m{T}cdot vec{g}_3=lambda_3vec{g}_3$

任選兩個與 $vec{g}_3$ 線性無關的基矢量 $vec{g}_1, vec{g}_2$ ,與 $vec{g}_3$ 構成一組基矢量，則由上式，張量對這組基矢量的並矢式的展開與相應的矩陣分別為：

$m{T}=T_{cdot 1}^{1}vec{g}_1vec{g}^1+T_{cdot 2}^{1}vec{g}_1vec{g}^2+T_{cdot 1}^{2}vec{g}_2vec{g}^1+T_{cdot 2}^{2}vec{g}_2vec{g}^2+T_{cdot 1}^{3}vec{g}_3vec{g}^1+T_{cdot 2}^{3}vec{g}_3vec{g}^2+lambda_3vec{g}_3vec{g}^3$