何不學微幾？

目錄

  • 微分流形的幾個基本概念
  • 切空間（上）

微分流形的幾個基本概念

首先，最重要的，我們引入拓撲流形和微分流形的概念。

Def 1：如果Hausdorff空間 M 【注1】滿足 forall xin M,exists 一個 x 的鄰域 N_x 與歐式空間 mathbb R^m 中的某個開集 V 同胚，我們就稱 M 是一個 m 維（拓撲）流形（manifold）。

Remark：

a.【注1】Hausdorff空間指的是滿足T2公理（ X 中任意不同兩點都有不交的鄰域）的拓撲空間；b.其實更嚴格一點，這裡應該稱之為實流形（real manifold），而與 mathbb C^m 有這種類似關係的則稱之為複流形（complex manifold）；c.定義中某點 x 的鄰域 U 到 V 的一個映射 varphi_U 配合 U 形成的二元組 (U,varphi_U) 稱為流形 M 的一個坐標卡，易知，一個流行上有很多個坐標卡（有時也稱為坐標系），至於為啥叫這個名字，你看下面這條就知道了（嘿嘿~d.指定 x 上的一個坐標卡 (U,varphi_U) ，我們就稱 x 映射到的那個 R^m 中相應點的坐標為流形 M 中 x 的坐標。注意，流形本身是沒有坐標的概念的，我們這裡是引入 mathbb R^m 才給出定義的，這與 mathbb R^m 中本身就有的自然坐標不同。

我們知道，在同一點 p 處是可能有很多不同的坐標卡的，那麼下面建立流形間可微映射的概念就可能會出現一個問題，即一個點可能在包含它的一個坐標卡 (U,varphi_U) 下是可微的，而在另一個坐標卡下就不可微了，這是不能容許的。

所以我們就想著給坐標卡劃定一個範圍，即砍掉那些可能導致混亂的坐標卡，只留下那些「相容」的坐標卡，具體操作如下：

Def 2：滿足以下兩種情形之一的兩個坐標卡 (U,varphi_U),(V,varphi_V) 稱為是 C^r- 相容的：

(i) Ucap V=varnothing ；(ii) Ucap V evarnothing ，但 varphi_Ucircvarphi_V^{-1} 和 varphi_Vcircvarphi_U^{-1} 均 C^r 。

Remark

a.這裡相容性的理解還要感謝評論區的幫助哈；b.關於歐式空間之間映射可微性的定義可見下面的Pre 1和Pre 2，順序有些錯亂，不過感覺還是放在下面好一點；c.我們給出一張圖來幫助大家理解：
圖源 陳省身《微分幾何講義》

舉幾個例子鞏固下剛才學到的吧！

eg1：任意歐式空間或歐式空間的子集都是流形，只要取恆等映射就ok啦；

eg2：任何和某個歐式空間同胚的拓撲空間一定是流形，比如三維球面挖去一點是一個二維拓撲流形，同胚映射如圖：

圖源 尤承業《基礎拓撲學講義》

Remark：只是和歐氏空間的子集同胚不行，是我一開始想當然了（捂臉，多謝大佬 @王箏 指正啦～

eg3： m 維單位球面 S^m=left{ xinmathbb R^{m+1}|(x_1)^2+(x_2)^2+cdots(x_{m+1})^2=1 ight} 是一個 m 維的流形。

proof：我們這裡只是簡單地來看一下 m=1 的情形，其他的貌似就是 m 維的分成 2^{m+1} 塊就行了，具體操作類似。

首先我們對每個 xin S^1 中的點指定鄰域 N_x 和同胚映射（如果你並不知道我為什麼要這麼做可能你還需要再看看拓撲流形的定義）如下：

left{ egin{align} U_1&=left{ xin S^1|x_2>0<br /> ight},varphi_{U_1}(x)=x_1, \ U_2&=left{ xin S^1|x_2<0 ight},varphi_{U_2}(x)=x_1, \ V_1&=left{ xin S^1|x_1>0<br /> ight},varphi_{V_1}(x)=x_2, \ V_1&=left{ xin S^1|x_1<0 ight},varphi_{V_2}(x)=x_2. end{align} ight. 圖示如下

Remark：

a.後面我們就可以看到，實際上 S^m 還可以形成一個微分流形（以以上四個開集和對應的映射為微分結構）；b.用基本群可以證明 S^m 與任意歐式空間不同胚（沒學代拓的我只能裝個某字母了。。。以後學會了再來看看要不要補充一波吧）。

eg4： m 維射影空間 P^m 是一個 m 維流形。

Remark：為了避免主次顛倒，這裡就不展開敘述了，大家如果有興趣可以隨便找一本現代微分幾何的教材，上面應該都有介紹，或者我們後面放到一個外篇里具體討論也可以。

eg5：Mobius帶和Klein瓶都是二維流形。（具體見 尤承業《基礎拓撲學講義》P88）

微分流形實際上就是在拓撲流形上附上某種結構（我們稱之為微分結構），使得流形間可微映射的概念能夠得以建立。

那我就要問你另一個問題啦，你知道我們為啥要引入流形這個概念嗎?

其實除了它用處廣之外還有一個原因。

那就是它簡單啊！（霧）

簡單在哪呢？

簡單就簡單在他和歐式空間的這種奇妙的關係導致了它很多時候流形的問題都可以轉換到歐式空間上來解決，很多概念也可以依賴於歐式空間上相應的概念來建立。

其實（實）流形本就是歐式空間的推廣啊！

So？

So我們就來用歐式空間間映射可微的概念來定義流形間的可微映射吧！

首先我們來做三個準備工作。

Pre 1：如果定義在開集 Usubset mathbb R^n 上的映射 f:U ightarrow mathbb R 直到 r 階的偏導數（總共有 r! 個）都存在且連續，我們就稱它是 r 階可微的，記作 f 是 C^r 的。

Remark：特別地，連續函數記作是 C^0 的，任意階可微的函數記作是 C^infty （光滑）的，解析函數【注2】記作是 C^omega 的。

【注2】若 forall xin U,exists x 的一個鄰域 N_x ，使得 f(x) 能在其中表示為收斂的冪級數形式，那麼我們就稱 f 是解析的。

Pre 2：映射 f:U ightarrow mathbb R^m 可以看作m個n元函數，如果這m個n元函數都 C^r ，那麼我們就稱 f 是 C^r 的。

下面這個概念可能比較拗口，但是其實也是很自然的。

Pre 3： m 維流形 M 上的一個坐標卡集 mathscr A=left{ (U,varphi_U),(V,varphi_V),(W,varphi_W)cdots ight} 稱為是 M 上的一個 C^r- 微分結構，如果他滿足以下三個條件：

a. left{ U,V,Wcdots ight} 構成 M 的一個開覆蓋；

b. mathscr A 中任兩坐標卡 C^r- 相容；

c. mathscr A 是極大的【注3】。

Remark：

a.【注3】指所有和 mathscr A 中某個坐標卡相容的坐標卡一定本身就在 mathscr A 中；b.同理我們可以也可以定義 C^infty 和 C^omega 的微分結構；c.其實微分結構真的不是微分的結構，他和微分的關係只是在於後面流形間可微映射的定義要用到它；

d.微分結構不唯一。

Def 3：指定了 C^r-微分結構的拓撲流形稱為一個C^r- 微分流形（differentiable manifold）

Remark

a.同理我們也能定義光滑流形和解析流形；b.屬於給定微分結構的坐標卡我們稱為微分流形 M 容許的坐標卡。

下面我們著手引入流形間可微映射的概念。

Def 4：我們稱兩個流形之間的連續映射 f:M ightarrow M 在 pin M 點 C^r （也就是

r 階可微），如果分別存在 M 和 M 的容許坐標卡 (U,varphi_U) 和 (V,psi_V) ，使得 psi_Vcirc fcircvarphi_U^{-1}:varphi_U(U) ightarrowpsi_V(V) 在 varphi_U(p) 是 C^r 的。

Remark：這裡實際上就是用歐式空間中的可微來定義流形間的可微了，下面這張圖可以讓大家的理解更直觀些，表示符號稍有不同，不過我相信大家也都能看懂

圖源 梁燦彬《微分幾何與廣義相對論入門》

隨後我們再來補上幾個例子。

切空間（上）

首先，陪域為 mathbb R 的映射稱為函數（嘻嘻嘻 一聲）。

其實所謂空間上的一個函數無非就是在這個空間的每一點處指定一個實數值，可以理解為物理中的標量場，所謂一個 m 維矢量場也無非就是 m 個標量場的疊加。

本節的目的是用線性的觀點來討論流形上某點的光滑函數，即建立某點處的「光滑函數線性空間「，然後再用它來引入切空間的概念。（開講前某字母要裝到位>3<）

Def 5：所謂m維微分流形 M 在點 p 處的一個光滑函數 f:U ightarrow mathbb R ，就是一個在 p 的一個鄰域 U 上 C^infty 的函數，記 M 上所有在 p 處光滑的函數組成的集合為 C_p^infty 。

Remark：圖示如下

圖源 沃茲基《蝦樺滴》

可是 C_p^infty 並不是線性空間呢(*+~+*)~@。

哼！那窩們就來收拾收拾這個不聽話的喵！

我們在 C_p^infty 上定義如下的等價關係：

fsim gLeftrightarrowexists p 的一個開鄰域 H_p ，使得 f|_{H_p}=g|_{H_p} ，要驗證它是等價關係。。。。awl（懶）l， f 的等價類記作 [f] 。

現在記 mathscr F_p=C_p^infty/sim=left{ [f]|fin C_p^infty ight} ，並在 mathscr F_p 上定義加法與數乘運算（結果的定義域定為 Ucap V ，也就是）如下：

[f]+[g]=[f+g],[alpha f]=alpha[f] ，可以證明這兩個運算well-defined，並且 (mathscr F_p,+,cdot) 形成一個線性空間。

Remark： dim mathscr F_p=infty （證明我不會~）

這麼重要的概念怎麼能不給它起個萌萌的名字呢？

就叫它函數芽（germ）吧！

這裡的操作怎麼這麼眼熟啊，貌似實分析 L^1 空間也是這樣乾的？

不管怎麼樣，我們完成了上面的使命，下面就要來搞一搞切空間（Tangent Space）。

Def 6：若 existsdelta>0,s.t gamma:(-delta,delta)<br /> ightarrow M 是 C^infty 的，並且 gamma(0)=p ，我們就稱它是過 p 點的一個參數曲線。

Remark

a.注意這裡的參數曲線是映射不是映射的像！b.其實定義域不用一定是 (-delta,delta) 這樣，但是這種形式使我們方便討論了，並且它也是和一般形式的參數曲線等價滴；c.所有過點 p 的參數曲線構成的集合記作 Gamma_p ；d.給定 p 點的一個光滑函數 f ，我們定義如下運算：

《gamma,[f]》=frac{d(fcircgamma)}{dt}|_{t=0},-delta<0<delta ，這裡值得注意的一點是，這個運算是well-defined的，因為它只關乎到 t=0 也就是 p 點處的取值，圖示如下

圖源 陳省身《微分幾何講義》

Prop 1

a. 《gamma,[f]+[g]》=《gamma,[f]》+《gamma,[g]》 ；

b. 《gamma,alpha[f]》=alpha《gamma,[f]》

Remark

a.即 《,》 運算對於後一個位置是線性的；b. mathscr H_p=left{ [f]inmathscr F_p|《gamma,[f]》=0 ight} 是 mathscr F_p 的線性子空間。

下面這個定理是我們遇到的第一個需要稍微花點力氣來看的結論，我們就把它作為本篇筆記的結尾吧，剩下的我們下次再談。

首先為了簡單起見，我們對 forall finmathscr F_p 和包含 p 的容許坐標卡引入一個記號： F(x^1,x^2,cdots,x^m)=fcircvarphi_U^{-1}(x^1,x^2,cdots,x^m) ，是一個 m 元函數。

Th 1： [f]inmathscr H_pLeftrightarrowfrac{partial F}{partial x_i}|_{varphi_U(p)}=0,for i=1,2,cdots,m 。

proof：任取 gammainGamma_p ，我們把 varphi_Ucircgamma(t) 的第i個元素 (varphi_Ucircgamma(t))^i 記作 x^i(t) ，那麼就有

egin{align} 《gamma,[f]》&=frac{d}{dt}(fcircgamma)|_{t=0} \ &=frac{d}{dt}[(fcircvarphi_U^{-1})circ(varphi_Ucircgamma)]|_{t=0} \ &=frac{d}{dt}F(x^1(t),x^2(t),cdots,x^m(t))|_{t=0} \ &=sum_{i=1}^{m}(frac{partial F}{partial x^i}cdotfrac{dx^i}{dt})|_{t=0} \ &=sum_{i=1}^{m}(frac{partial F}{partial x^i}|_{varphi_U(p)}cdotfrac{dx^i}{dt}|_{t=0}) end{align} 那麼就有 egin{align} &[f]inmathscr H_p,forallgammainGamma_p \ Leftrightarrow&《gamma,[f]》=0,forallgammainGamma_p \ Leftrightarrow&sum_{i=1}^{m}(frac{partial F}{partial x^i}|_{varphi_U(p)}cdotfrac{dx^i}{dt}|_{t=0})=0,forallgammainGamma_p \ Leftrightarrow&frac{partial F}{partial x_i}|_{varphi_U(p)}=0,for i=1,2,cdots,m end{align} 這裡最後一個 Leftrightarrow 的 Rightarrow 並不是那麼顯然，其理解的關鍵之處在於 forallgammainGamma_p ，即這裡的 gamma 是任取的，這就保證了函數 x^i(t) 的任意性，從而可以讓 frac{dx^i}{dt}|_{t=0} 取到任意值，從而保證了其係數 frac{partial F}{partial x_i}|_{varphi_U(p)} 一定為 0 。最後一段書上是這麼說的，但其實我還是沒理解。。。。（蠢哭Remark：這個定理旨在告訴我們， mathscr H_p=left{ [f]|frac{partial F}{partial x^i}|_{varphi_U(p)}=0,for i=1,2,cdots,m ight} 。

我想你需要下面這兩個推論。

Cor 1

a. forall f,gin C_p^infty,d(f+g)_p=d(f)_p+d(g)_p ；

b. forall fin C_p^infty,alphainmathbb R,d(alpha f)_p=alpha d(f)_p ；

c. forall f,gin C_p^infty,d(fg)_p=f(p)d(f)_p+d(f)_pg(p) .

proof：前兩個不用多說，我們來看看第三個吧，實際上：

egin{align} &[h]in d(fg)_p \ Leftrightarrow&[h]-[fg]inmathscr H_p \ Leftrightarrow&[h-fg]inmathscr H_p \ Leftrightarrow&frac{partial[(h-fg)circvarphi_U^{-1}]}{partial x^i}|_{varphi_U(p)}=0 \ Leftrightarrow&frac{partial(hcircvarphi_U^{-1})}{partial x^i}|_{varphi_U(p)}-frac{[partial(fg)circvarphi_U^{-1}]}{partial x^i}|_{varphi_U(p)}=0 \ Leftrightarrow&frac{partial(hcircvarphi_U^{-1})}{partial x^i}|_{varphi_U(p)}-[f(p)frac{partial(gcircvarphi_U^{-1})}{partial x^i}|_{varphi_U(p)}+g(p)frac{partial(fcircvarphi_U^{-1})}{partial x^i}|_{varphi_U(p)}]=0 \ Leftrightarrow&frac{partial[(h-f(p)g-g(p)f)circvarphi_U^{-1}]}{partial x^i}|_{varphi_U(p)}=0 \ Leftrightarrow& h-f(p)g-g(p)finmathscr H_p \ Leftrightarrow&[h]in d(f(p)g+g(p)f) end{align} 於是 d(fg)_p=f(p)d(f)_p+d(f)_pg(p) 。Remarka.證明中的第三個 Leftrightarrow 用到了Th 1；b.證明中的第第五個 Leftrightarrow 其實我也不太確定。

Cor 2：對於任一微分流形 M ， dim M=dim T_p^* 。

proof：這個證明有點複雜，我們暫且略過。

OK，那我們先就結束到這，之後再補充幾個微分流形的例子上去，也歡迎大家推薦。

啊對，這次我們抄的是陳老的《微分幾何講義》哈。

不要問我今天為什麼這麼興奮，我又喝那家店的咖啡了！


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