張量分析筆記（三）

寫在前面：

1.使用教材是黃克智等老師編寫的《張量分析》。

2.由於書中有些地方沒有證明，所以在我的筆記中添加了部分證明和說明，如有錯誤還望指出，謝謝！

第一章目錄

1.1 矢量及其代數運算公式（這一部分我沒有做筆記）

1.2 斜角直線坐標的基矢量與矢量分量

1.3 曲線坐標系

1.4 坐標轉換

1.5 並式與並矢式

1.6 張量的基本概念（本次筆記結束之處）

1.7 張量的代數運算

1.8 張量的矢積

1.6 張量的基本概念

1.6.1 矢量的分量表示法與實體表示法

在闡明張量的概念之前，作為張量的一個特例，本節先重新闡述一下矢量的定義。在1.1節中，已經給出了矢量作為一個實體的定義，從而得到：在三維空間的每一點處可以按該點處的基矢量（協變基或逆變基）分解為三個分量（逆變分量 $v^{i }$ 或協變分量 $v_{i}$ 在同一坐標系中，協變分量與逆變分量相互之間不獨立，以該坐標系的度量張量分量升降指標。若選擇其他坐標系，同一矢量將具有不同的分量，但新舊坐標系的矢量分量可以通過坐標系轉換關係式互導。所以，一旦給定一個矢量在某一坐標系中的任何一組分量，這個矢量就完全的被確定了。由此可見，矢量和它的任意一組分量（個一組）是等價的。下面用分量的觀點定義矢量。

上面這段話還是蠻重要的，它高度概括了前面節都講了什麼。

如果在三維空間中任意點的物理量可以用三個有序數 $v_{i}$ （或三個有序數 $v^{i }$ ）的集合表示，且當坐標轉換時，它們在新坐標中按以下轉換關係轉換為另一組三個有序數的集合：

協變轉換關係： $v_{i{}}=eta _{i{}}^{j}v_{j}=frac{partial x ^{j}}{partial x^{i{}}}v_{j}$

逆變轉換關係： $v^{i{}}=eta _{j}^{i{}}v^{j}=frac{partial x^{i{}}}{partial x ^{j}}v^{j}$

上述的 $v^{i },v_{i} left(i=1,2,3 ight)$ 分別稱為矢量的逆變分量和協變分量，該物理量稱為矢量，並記做。

上兩式給出的按分量定義的矢量與前述矢量的實體定義之間是可以互導的。早在1.4節中我們就已經知道，矢量是一個用其大小與方向描述的實體

$vec{v} =v_{i{}}vec{g}^{i{}}=v_{j}vec{g}^{j}$

$vec{v} =v^{i{}}vec{g}_{i{}}=v^{j}vec{g}_{j}$

導得了矢量分量的定義式以及基矢量的轉換關係導得上兩式。例如：

$v_{i{}}vec{g}^{i{}}=eta _{i{}}^{j}v_{j}eta _{k}^{i{}}vec{g}^{k}=delta _{k}^{j}v_{j}vec{g}^{k}overset{k=j}{ ightarrow}v_{j}vec{g}^{j}$

：
$v^{i{}}vec{g}_{i{}}=eta _{j}^{i{}}v^{j}eta _{i{}}^{k}vec{g}_{k}=delta_{j}^{k}v^{j}vec{g}_{k}overset{k=j}{ ightarrow}v^{j}vec{g}_{j}$

矢量的某些基本運算公式可以表示如下：

矢量相等

若兩個矢量在同一坐標系中的對應分量兩兩相等，即：

$u_{i}=v_{i}$ 或 $u^{i}=v^{i}left( i=1,2,3 ight)$

則這兩個矢量相等，並可用實體表示法記為：

由於他們在同一坐標系下服從相同的指標升降關係，所以只要協變（逆變）分量相等，則逆變（協變）分量必相等。此外，由於某個坐標系中兩個相等的矢量的分量服從相同的最錶轉換關係，所以，轉換到任何新的坐標系中後，它們仍保持相等。

若一個矢量在某個坐標系下的全部分量都為零，即：

$v_{i}=0$ 或 $v^{i}=0left(i=1,2,3 ight)$

則稱該矢量為零矢量，它在任意其他坐標下的全部分量也為零。記作：

矢量相加

若兩個矢量在同一坐標系中的同一種分量，例如 $u_{i},v_{i}$ 一一對應相加，則得到一組新的矢量分量 $w_{i}$ ，即：

$u_{i}+v_{i}=w_{i} left( i=1,2,3 ight)$

且上述和式在任意坐標系中均成立。用實體表示法記作：

標量乘以矢量

設 $k=kleft ( x^{1},x^{2},x^{3} ight )$ 是一個標量，它的值可以因點而異，但不隨坐標的轉換而變化。將矢量在某一坐標系下的某一分量，例如 $u^{i}$ ，均乘以，則得到一組新的矢量分量：

$ku^{i}=w^{i} left( i=1,2,3 ight)$

且上式在任意坐標系中均成立。用實體表示法可記作：

矢量與矢量的點積

矢量 $u^{i}$ 與矢量 $v_{i}$ 的點積是一個標量，它不隨坐標轉換而改變。即：

$u^{i}v_{i}=u^{i{}}v_{i{}}=f$

上式的證明如下：

$u^{i{}}v_{i{}}=eta _{k}^{i{}}u^{k}eta _{i{}}^{i}v_{i}=delta _{k}^{i}u^{k}v_{i}overset{k=i}{ ightarrow}u^{i}v_{i}$

利用度量張量分量升降指標後矢量的點積也可以寫為另一種形式：

$u^{i}v_{i}=g^{ik}u_{k}v_{i}=g_{ik}u^{i}v^{k}=u_{i}v^{i}$

用實體表示法可以記為：

以上所有矢量的基本運算中的分量表示式和實體表示式都可以互導，他們之間是完全等價的。

1.6.2 張量的定義與兩種表示法

與矢量類似，定義由若干當坐標系改變時滿足1.4節所述坐標轉換關係的有序數組的集合稱為張量。例如一個由九個有序數組組成的集合 ,在坐標變換時，這組數按照以下坐標轉換關係而變化：

$Tleft( i{},j{} ight)=eta _{k}^{i{}}eta _{l}^{j{}}Tleft( k,l ight) left(i{},j{}=1,2,3 ight)$

則這組有序數的集合就是張量。

張量與矢量類似，不同的是坐標變化同時需要兩個變換係數（二階張量）。

上例中當坐標轉換時，新坐標系中的是由舊坐標系中的乘以兩次逆變轉換係數得到的，固稱是二階張量的逆變分量，記作 $T^{ij}$ 。上式中自由指標的的個數與所乘的坐標轉換係數的次數一致，稱為張量的階數。例如這裡的 $T^{ij}$ 有兩個自由指標，所以起就是一個二階張量，而根據矢量的定義我們發現，任何一個矢量都只有一個只有指標，所以矢量又被稱為一階張量。而標量沒有指標，所以標量又被稱為零階張量。在維空間中，階張量應是 $n^{m}$ 個數的集合。

例如在三維空間中的二階張量是 $3^{2}=9$ 個數的集合（就是三維空間中的矩陣）。其實，無論在任何維的空間下，二階張量都是一個矩陣。

今後以指標的上，下分別表示張量的逆變或協變性質，若坐標轉換時張量分量所乘的都是逆變（或協變）轉換係數，則成為張量的逆變（或協變）分量。用上標（或下標）加以標識，記作： $T^{ij}$ （或 $T_{ij}$ ）。若改變坐標時張量的分量所乘為既有逆變，又有協變轉換係數，則按照對應轉換係數的逆，協變性質，分別表示分量指標的上或下，稱為張量的混變分量。如 $T_{cdot j}^{i}$ 表示前指標按逆變，後指標按協變的方式進行轉換。此處確切表示指標的前後順序，在上下指標的空位處用小圓點標識。並應特別注意，指標順序不能隨意調換，即一般來說： $T_{cdot j}^{i} e T_{i }^{cdot j}$

有小圓點標識的是後指標。

在同一坐標系中，張量的逆變，協變，混變分量之間應滿足1.2節中的指標升降關係。階張量可以有 $2 ^{m}$ 種分量的集合。

例如三階張量有 $2 ^{3}=8$ 種分量，即一個協變分量，一個逆變分量和六個混變分量。

顯然，維空間中的個矢量分量進行並乘運算所得到 $n^{m}$ 個數的集合可構成階張量。例如：

$T_{cdot jcdot }^{icdot k}=u^{i} v_{j} w^{k} left ( i,j,k=1,2,3 ight )$ 是三維空間中的三個矢量進行並乘運算得到的一組個有序數的集合，當改變坐標系時，他滿足張量分量的坐標轉換關係：

$T_{cdot j{}cdot }^{i{}cdot k{}}=eta _{l}^{i{}}u^{l}eta _{j{}}^{m}v_{m}eta _{k{}}^{n}w^{n}=eta _{l}^{i{}}eta _{j{}}^{m}eta _{k{}}^{n}T_{cdot mcdot }^{lcdot n} left ( i{},j{},k{} =1,2,3 ight )$

三個矢量的張量積有個分量是因為前兩個矢量的張量積有個分量，之後這個分量再與第三個矢量的個分量一一就結合就有了個分量。

與矢量類似，張量也有兩種等價的表示法。

1.6.2.1 張量的分量表示法

在三維空間中存在著若干數組的集合 $T^{ij},T_{ij},T_{cdot j}^{i},T_{i}^{cdot j}$ 或者 $T^{ijk},T_{ijk},T_{cdot cdot k}^{ij},T_{cdot jk}^{i},...$ （每組數的數值均可因點而異）。在同一坐標系內，在空間處的每一點處各組數之間均滿足升降關係，例如：

$T^{ij}=g^{ir}g^{js}T_{rs}=g^{ir}T_{r}^{cdot j}=g^{js}T_{cdot s}^{i}$

$T_{ij}=g_{ir}g_{js}T^{rs}=g_{ir}T_{cdot j}^{r}=g_{js}T_{i}^{cdot s}$

或者

$T^{ijk}=g^{ir}g^{js}g^{kt}T_{rst}=g^{kt}T_{cdotcdot t}^{ij}=g^{js}g^{kt}T_{cdot st}^{i}=...$

$T_{ijk}=g_{ir}g_{js}g_{kt}T^{rst}=g^{kt}T^{cdotcdot t}_{ij}=g_{js}g_{kt}T_{i}^{cdot st}=...$

由上式可以看出，對於每一個要求下降的指標，需要使用度量張量的協變分量 $g_{ij}$ 做一次線性變換，對於每一個要求上升的指標，需要使用度量張量的逆變分量 $g^{ij}$ 做一次線性變換。而 $T^{ij},T_{ij},T_{cdot j}^{i},T_{i}^{cdot j}$ 只是同一個物理量不同分量的集合。

回想一下矢量的指標升降原則：對於矢量來講，無論是升指標還是降指標，都只需要一個度量張量的分量就可以了。而例如對於一個張量的逆變分量，至少需要兩個度量張量的協變分量才能夠將所有指標全部降下來。例如上面的 $T^{ij}=g^{ir}g^{js}T_{rs} ightarrow T_{rs}=g_{ir}g_{js}T^{ij}$ 。

當坐標系變換時，這幾組數相應的轉化為 $T^{i{}j{}},T_{i{}j{}},T_{cdot j{}}^{i{}},T_{i{}}^{cdot j{}}$ 或者 $T^{i{}j{}k{}},T_{i{}j{}k{}},T_{cdot cdot k{}}^{i{}j{}},T_{cdot j{}k{}}^{i{}},...$

他們之間應滿足坐標變換關係：

$T^{i{}j{}}=eta _{r}^{i{}}eta _{s}^{j{}}T^{rs}$ （二重逆變）

$T_{i{}j{}}=eta _{i{}}^{r}eta _{j{}}^{s}T_{rs}$ （二重協變）

$T_{cdot j{}}^{i{}}=eta _{r}^{i{}}eta _{j{}}^{s}T_{cdot s}^{r}$ （混變）

$T_{i{}}^{cdot j{}}=eta _{i{}}^{r}eta _{s}^{j{}}T_{r}^{cdot s}$ （混變）

或者

$T^{i{}j{}k{}}=eta _{r}^{i{}}eta _{s}^{j{}}eta _{t}^{k{}}T^{rst}$ （三重逆變）

$T_{i{}j{}k{}}=eta_{i{}}^ {r}eta _{j{}}^{s}eta _{k{}}^{t}T_{rst}$ （三重協變）

$T_{cdotcdot k{}}^{i{}j{}}=eta _{r}^{i{}}eta _{s}^{j{}}eta _{k}^{t}T_{cdot cdot t}^{rs}$ （混變）

$T_{cdot j{} k{}}^{i{}}=eta _{r}^{i{}}eta _{j{}}^{s}eta _{k}^{t}T_{cdot st}^{r}$ （混變）

滿足上例中的式的集合稱為張量。每個數 $T^{ij}$ （或 $T_{ij}$ ，或 $T_{cdot j}^{i}$ ，...）稱為張量的逆變（或協變，混變）分量。

值得注意的是一階張量（矢量）沒有混變分量。

1.6.2.2 張量的實體表示法（並矢表示法）

與矢量類似，也可以將張量看做一個實體，即將張量表示成各個分量與基矢量的組合。例如在同一坐標系下，二階張量可以表示為：

$extbf{T} =T^{ij}vec{g}_{i}vec{g}_{j}=T_{ij}vec{g}^{i}vec{g}^{j}=T_{cdot j}^{i}vec{g}_{i}vec{g}^{j}=T_{i}^{cdot j}vec{g}^{i}vec{g}_{j}$

三階張量可以表示為：

$extbf{T} =T^{ijk}vec{g}_{i}vec{g}_{j}vec{g}_{k}=T_{ijk}vec{g}^{i}vec{g}^{j}vec{g}^{k}=T_{cdotcdot k}^{ij}vec{g}_{i}vec{g}_{j}vec{g}^{k}=T_{cdot jk}^{i}vec{g}_{i}vec{g}^{j}vec{g}^{k}...$

在上述矢量表示法中假定：基矢量 $vec{g}_{i}$ （或 $vec{g}^{i}$ ）是線性無關的。從而它們的並矢，又稱為基張量，例如個二階基張量 $vec{g}_{i}vec{g}_{j}$ （或 $vec{g}^{i}vec{g}^{j}$ ，或 $vec{g}_{i}vec{g}^{j}$ ，或 $vec{g}^{i}vec{g}_{j}$ ）也是線性無關的。

由上式可見，在並矢表示法中，無論用逆變分量配協變基，或是用協變分量配逆變基，或是用混合分量配相應的基，都表示同一個張量實體。

這一點與矢量一樣。

換句話說，張量分量的指標可以隨意的上升或下降，只需將相配的基矢量的指標相應的上升或下降就可以，這是因為這兩次升降指標所乘的度量張量 $g^{ij}$ 與 $g_{ij}$ 是互逆的。

張量的實體表示法與分量表示法是完全等價的。

這一點也與矢量一致。

例如，由 $T_{ij}vec{g}^{i}vec{g}^{j}$ 可以導出 $T^{ij}vec{g}_{i}vec{g}_{j}$ ，即：

$T_{ij}vec{g}^{i}vec{g}^{j}=T^{ij}vec{g}_{i}vec{g}_{j}$

對於上式左端更換啞指標：

$T_{ij}vec{g}^{i}vec{g}^{j}=T_{ij}{g}^{ir}{g}^{js}vec{g}_{r}vec{g}_{s}=T_{rs}{g}^{ri}{g}^{sj}vec{g}_{i}vec{g}_{r}$

：
我僅證明上面連等式的中間部分的度量張量分量的代換。回憶度量張量分量的定義（以度量張量的逆變分量為例）： ${g}^{ir}=vec{g}^{i}cdotvec{g}^{r} left( i,r=1,2,3 ight)$ 在利用點積表示度量張量的分量的時候，需要說明的取值。因為若不說明，這個點積就成了一個數，但是不要忘了，度量張量的分量是一個矩陣。這個度量張量的逆變分量也可以用並矢直接表示，即： ${g}^{ir}=vec{g}^{i}vec{g}^{r}$ 我們還是用點積形式，兩邊同時點積一個協變基 $vec{g}_{r}$ ，則有： ${g}^{ir}cdotvec{g}_{r}=vec{g}^{i}cdotvec{g}^{r}cdotvec{g}_{r}=vec{g}^{i} left( i,r=1,2,3 ight)$

對比此兩式，根據基張量 $vec{g}_{i}vec{g}_{j}left( i,j=1,2,3 ight)$ 的線性無關性，並且考慮到度量張量的對稱性得：

$T_{ij}=T_{ij}{g}^{ir}{g}^{js}=T_{rs}{g}^{ri}{g}^{sj}$

當坐標系變幻時，張量實體不隨坐標系的變化而變化。

這一點也與矢量一致。

即對於一個二階張量來講：

$extbf{T}=T^{i{}j{}}vec{g}_{i{}}vec{g}_{j{}}=T_{i{}j{}}vec{g}^{i{}}vec{g}^{j{}}=T_{cdot j{}}^{i{}}vec{g}_{i{}}vec{g}^{j{}}=T_{i{}}^{cdot j{}}vec{g}^{i{}}vec{g}_{j{}}= T^{ij}vec{g}_{i}vec{g}_{j}=T_{ij}vec{g}^{i}vec{g}^{j}=T_{cdot j}^{i}vec{g}_{i}vec{g}^{j}=T_{i}^{cdot j}vec{g}^{i}vec{g}_{j}$

三階張量同理，就不寫了。

凡是帶有「撇號」的，都表示變換後的坐標系。這是老知識點了，不要忘記。

上式與之前張量的分量表示法中的坐標變化式是完全等價的，即他們之間可以互導。例如

$T^{i{}j{}}vec{g}_{i{}}vec{g}_{j{}}=T^{ij}vec{g}_{i}vec{g}_{j}$

對上式右端更換啞指標的同時進行坐標轉換：

$T^{ij}vec{g}_{i}vec{g}_{j}=T^{ij}eta _{i}^{r{}}eta _{j}^{s{}}vec{g}_{r^{{}}}vec{g}_{s^{{}}}=T^{rs}eta _{r}^{i{}}eta _{s}^{j{}}vec{g}_{i^{{}}}vec{g}_{j^{{}}}$

對比上兩式，由於基張量 $vec{g}_{i^{{}}}vec{g}_{j^{{}}}left( i^{{}},j ^{{}}=1{},2{},3{} ight)$ 線性無關，則有：

$T^{i{}j{}}=T^{rs}eta _{r}^{i{}}eta _{s}^{j{}}$

如果在兩個不同的坐標系中的張量的分量均一一對應滿足轉化關係式，則每一坐標系中張量分量與相應基的組合構成一個坐標系無關的張量實體。在這個意義下，可以稱張量具有對坐標的不變性，稱張量的並矢記法為不變記法。應該指出，在上述各個張量的表達式中，分量指標的排列順序和相配基矢量的排列順序是一一對應的，不能夠隨意更換。例如：

$extbf{T} =T^{ij}vec{g}_{i}vec{g}_{j}= T^{ji}vec{g}_{j}vec{g}_{i} e T^{ji}vec{g}_{ i}vec{g}_{j} e T^{ij}vec{g}_{j}vec{g}_{i}$

啞指標若要更換要同時更換分量的啞指標的基張量的啞指標。

顯然，在張量的並矢表示法中，每個基張量所包含的並基矢量的個數就是該張量的階數。

按照以上兩種表示方法，又是把實體，有時也把它的分量集合稱為張量。下面將主要採用張量的並矢表示法。

與矢量一致，用基張量表示張量是大勢所趨。

1.6.3 度量張量

作為例子，我們來討論一下度量張量。由1.4節中已經證明的轉換關係可知，三維空間中的個量：

$g_{ij}=vec{g}_{i}cdot vec{g}_{j} left ( i,j=1,2,3 ight )$

或

$g^{ij}=vec{g}^{i}cdot vec{g}^{j} left ( i,j=1,2,3 ight )$

滿足張量分量的轉換規律，因而是一個張量，通常稱為度量張量。下面將進一步給出它的並矢表達式：

在同一坐標系中，度量張量可以用不同種類的分量（協變或逆變）進行表示（相應的基當然不同）

$extbf{G}=g^{ij}vec{g}_{i} vec{g}_{j}=g_{ij}vec{g}^{i}vec{g}^{j}$

根據度量張量的對稱性以及基矢量的升降關係，並利用度量張量的協變，逆變分量的互逆關係，可以很容易的證明上式。

$g^{ij}vec{g}_{i} vec{g}_{j}=g^{ij}left(g_{ir} vec{g}^{r} ight)left(g_{js} vec{g}^{s} ight)=g^{ij}g_{ir}g_{js} vec{g}^{r}vec{g}^{s}=delta _{r}^{j}g_{js} vec{g}^{r}vec{g}^{s}=g_{rs} vec{g}^{r}vec{g}^{s}$

利用度量張量的指標升降關係，可得到度量張量的混變分量就是：

$g_{cdot j}^{i}=g^{ir}g_{rj}=delta_{j}^{i}$

$g_{i}^{cdot j}=g_{ir}g^{rj}=delta_{i}^{j} left( i,j=1,2,3 ight)$

由於對於指標對稱 $left( delta_{cdot j}^{i}=delta_{j}^{cdot i}=delta_{j}^{i} ight)$ ，故其指標前後順序可以調換，可以直接簡記為： $delta_{i}^{j}$ 。於是度量張量的分量可以完整的寫為

$extbf{G}=g^{ij}vec{g}_{i} vec{g}_{j}=g_{ij}vec{g}^{i}vec{g}^{j}=delta_{i}^{j}vec{g}_{i} vec{g}^{j}=delta_{j}^{i}vec{g}^{i}vec{g}_{j}=vec{g}_{j}vec{g}^{j}=vec{g}^{j}vec{g}_{j}$

當坐標變換時，根據二階張量的坐標轉換關係是，度量張量將具有對於坐標的不變性，即：

$extbf{G}=g^{i{}j{}}vec{g}_{i{}} vec{g}_{j{}}=g_{i{}j{}}vec{g}^{i{}}vec{g}^{j{}}=delta_{i{}}^{j{}}vec{g}_{i{}} vec{g}^{j{}}=delta_{j{}}^{i{}}vec{g}^{i{}}vec{g}_{j{}}=vec{g}_{j{}}vec{g}^{j{}}=vec{g}^{j{}}vec{g}_{j{}}$

$=g^{ij}vec{g}_{i} vec{g}_{j}=g_{ij}vec{g}^{i}vec{g}^{j}=delta_{i}^{j}vec{g}_{i} vec{g}^{j}=delta_{j}^{i}vec{g}^{i}vec{g}_{j}=vec{g}_{j}vec{g}^{j}=vec{g}^{j}vec{g}_{j}$