我最近學了一點Grothendieck拓撲的定義，想在這裡給大家分享一下。本文不加說明地使用概形的定義以及範疇的概念，相信本科生都能讀懂。

一、概形的拓撲

相信很多初學者都不理解的一點，就是定義概形的時候，為什麼我們要考慮全體素理想，而不是僅考慮極大理想。我不知道如何回答這個問題，但我有一種馬後炮的理解方式，讓我們一起來盯著一個概形 X 看看（就把它想像成仿射空間 mathbb{A}^n 就好）：

1. 只考慮閉點（極大理想）

那就是全體的點對吧，密密麻麻地我也畫不完……

可是看上去點與點之間都是分離的，沒有關係呀！

但是 X 上還有曲線呀，初中數學書上說，點動成線，正是這些代數曲線告訴我們點與點之間的連續變化關係，所以把曲線也考慮進來：

2. 再考慮曲線（ 1維素理想）

雖然我只畫了兩條，但請你把所有的曲線都想像出來，並且別忘了所有的點。

在概形的拓撲里，你單看一條曲線（上圖藍色部分），它並不被定義為閉集，得把它所包含的所有點加進來，才成為閉集。用符號來說，對於1維素理想 mathfrak{p} ，

overline{{mathfrak{p}}}={mathfrak{p}}cup{mathfrak{m} | mathfrak{p}subseteqmathfrak{m}, mathfrak{m} extrm{ 極大}}

3. 一般的圖景

所以我們這樣來看概形 X ：

  • 不把素理想簡單地看成一個「點」，也就是說不把 X 看成一堆點的集合；
  • 而是把 X 看成一堆點 加 一堆線 加 一堆面……
  • 其中「點」是閉集，「線」以「點」為聚點(specialization)，「面」以「線和點」為聚點……
  • 這樣維數最高的那個，就是generic point，它不是其他東西的聚點，反過來其他東西都是它的聚點！

簡而言之，就是把 X 的所有子對象全部想像出來！

二、Zariski Site

既然我們拿到一個 X 就想把它的所有信息一併展現於腦海中，那我們再做一步飛躍，把這些 X 里的「點」、「線」、「面」……看成是「點」、「線」、「面」到 X 的態射：

X( extrm{「點」})=operatorname{Hom}_{operatorname{Scheme}}( extrm{「點」}, X)

X( extrm{「線」})=operatorname{Hom}_{operatorname{Scheme}}( extrm{「線」}, X)

X( extrm{「面」})=operatorname{Hom}_{operatorname{Scheme}}( extrm{「面」}, X)

那麼對於一個一般的概形 U ，我也可以談 X 的 U -點：

X(U)=operatorname{Hom}_{operatorname{Scheme}}(U, X)

換而言之， X 的拓撲空間里，不應該只有素理想，不應該只有「點線面……」，而可以把 X 上的全體概形放進來！

Zar(X):X extrm{-概形的範疇}

X 的拓撲可以這樣記錄下來：

J(X)={{U_i o X}_{iin I} | U_i extrm{的象覆蓋了}X}

也即任一元素 mathfrak{U}in J(X) 都給出了一族 U_i 到 X 的態射，也即一族 U_i -點，構成 X 的開覆蓋。

三、Grothendieck拓撲

Grothendieck學派的思想深邃之處不僅僅在於：

0. 把 X 看成一堆素理想（交換代數的level）；

  1. 把 X 看成點、線、面（Zariski拓撲的level）；

2. 把 X 看成其餘概形 U 到 X 的態射（「人的本質是其一切社會關係的總和——馬克思（《關於費爾巴哈的提綱》第六條）」）

更是在第2條的基礎上，對 X 的拓撲的理解有了進一步的飛躍！

原始的觀點是：

給出 X 的拓撲，就是給出 X 的所有開覆蓋，每一族開覆蓋就是元素 mathfrak{U}in J(X) 就是一族 U_i 到 X 的態射，也即一族 U_i -點，也即在每個 X(U_i) 中選出一個元素！

Grothendieck學派的觀點：

為啥只選一個？？既然我們已經把 X 視為它的一切社會關係的總和，也就是把 X 看成了範疇 Zar(X) 上的一個反變函子（預層），把每個 X -概形 U 映到所有 U -點 X(U) 。與其在某些 X(U_i) 中各選出一個元素，我何不直接選這個函子的一個子函子（子預層）呢！

我們稱預層 X(ullet) 的一個子預層 R （也即把 U 映到 X(U) 的一個子集。）為 X 的一個篩子。

用經典的話來說，我們不再只看 X 的一堆開子集組成的開覆蓋，而是考慮一堆 U 打到 X的態射，如果它也滿足某種「滿性」的話，就稱為開覆蓋！這樣處理之後，實際上我們不僅僅考慮了 U 到 X 的inclusion關係，更是考慮了多種多樣 U 到 X 的打法，以及這些 U 彼此之間的關係！這樣，我們才算是「拿到一個 X 就把它的所有信息一併展現於腦海中」！我把Grothendieck 拓撲的嚴謹定義放在這裡：

至此我們做一下總結，對於概形 X ，

在它的空間組成方面，我們經歷了：素理想→點線面→反變函子 X ，完成了從經典概形定義到site這個概念的轉化；

隨之而來，在它的拓撲方面，我們從：一族開覆蓋 {U_i} →篩子 R ，完成了從經典拓撲定義到適應於site語言的Grothendieck拓撲的轉化。

儘管本文沒有乾貨，連一個嚴謹的陳述都沒有給出，但是我相信所涉及的對於空間拓撲理解的思想是深邃的，也能讓普通本科生能夠欣賞到Grothendieck學派精妙的想法。筆者也是初學者，歡迎批評指正，相互交流！

參考文獻：

Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. Tome 1: Théorie des topos. (French)

Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1963–1964 (SGA 4). Dirigé par M. Artin, A. Grothendieck, et J. L. Verdier. Avec la collaboration de N. Bourbaki, P. Deligne et B. Saint-Donat. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 269.Springer-Verlag, Berlin-New York,1972.xix+525 pp.


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